音频进阶学习八——傅里叶变换的介绍

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前言

之前的一系列文章中，我们介绍了信号的分类、系统、以及在时域上对于序列的分析工具卷积公式和差分方程。

由于很多信号的处理从时域上并不能很好、快速的处理，并且基于分析我们得到一个结论，信号的波形可以分解为多个不同频率正弦波的组成，而这个分解的工具就是傅里叶变换。

本章中，会先对傅里叶变换做一个总的介绍，同时，因为学习傅里叶变化需要一定的数学知识，所以本章内容会先介绍傅里叶变换，然后再介绍关于傅里叶变换公式中的数学知识欧拉公式和积分方程。

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一、傅里叶变换

1.傅里叶变换的发展

傅里叶级数这个名字是由18世纪法国数学家傅里叶提出的，最开始是用于对热过程解析，但其研究“任意”的周期函数通过一定的分解，都能够表示为正弦和余弦信号的线性组合方式。

而后1829年，狄利赫里给出了傅里叶级数的收敛条件。

二十世纪初，傅里叶的思想被推广到非周期函数，成为了傅里叶变换，可以将任意信号分解成一系列正弦和余弦函数的和。但是此时傅里叶变换存在一些问题，对于非周期函数和时变信号，傅里叶变换无法处理。

直到20世纪70年代，引入的小波信号，解决了这些问题。

傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，而后离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出，才最终通过计算机对于信号能够做快速的处理。

2.常见的傅里叶变换

1. 连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform, CFT）

• 公式
  $$\begin{gathered} F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt \\ f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{-jwt}dw \end{gathered}$$
• 定义：连续时间信号$f(t)$和频域$F(\omega )$互转
• 应用场景：连续信号频谱分析

2. 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform, DFT）

• 公式
  $$\begin{gathered} X[k]=\sum _{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi }{N}kn},k=0,1,2,..,N-1 \\ x[n]=\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{j\frac{2\pi }{N}kn} \end{gathered}$$
• 定义：离散信号频域转换
• 应用场景：数字信号处理（音频计算机处理）

3. 短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform, STFT）

• 公式：
  $$STFT(t,\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(\tau )\omega (\tau -t)e^{-jw\tau }d\tau$$
• 定义：在信号的时间维度上使用滑动窗口，分段计算傅里叶变换
• 应用场景：非平稳信号分析（如语音处理、地震波分析）

4. 离散时间傅里叶变换（Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）

• 公式：
  $$X[\omega ]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]e^{-jwn}$$
• 定义： 离散时间信号的频谱分析
• 应用场景：数字信号的理论分析

5. 傅里叶级数

• 公式：
  $$\begin{gathered} f(t)=a_0+\sum _{n=0}^{\infty }(a_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t))or \\ f(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t} \end{gathered}$$
• 定义: 将周期信号分解为多个正弦和余弦函数的线性组合。
• 应用场景: 信号周期性分析

6. 小波变换（Wavelet Transform, WT）（多种不做展示）

• 定义: 一种局部化的傅里叶分析，使用小波函数代替正弦波进行信号分析。
• 特点: 提供多分辨率分析。
• 应用场景: 数据压缩、信号去噪、特征提取。

7. 快速余弦/正弦变换（Fast Cosine/Sine Transform, FCT/FST）

• 定义: 傅里叶变换的特化形式，仅保留正弦或余弦部分。
• 应用场景: 压缩算法（如JPEG）、解决偏微分方程。

3.频域

我们说傅里叶变换是将时域转成了频域，那么频域到底是什么？在音频基础文章中，我们有一张对于时域和频域图像的解释图：

在时域图形中很好理解，这是一个二维坐标轴，横轴表示时间，纵轴表示的波形，那么通过傅里叶变换我们得到的频域图是什么样子呢？这里使用Adobe audition软件做展示：

我们可以看到频域图的横轴是频率，纵轴是该频率占有的功率/幅度（图像中是转为了db来展示）

二、欧拉公式

在上面各种傅里叶变换公式中，可以看到基本上每个公式都包含$e^{jwt},\int ,\omega$这些符号，对于$\omega$我们之前在音频基础学习中有介绍，单位圆转一圈的时间为一个周期，那么频率$f=\frac{1}{t}$，此时转过的弧度为$2\pi$，而角频率$\omega =\frac{2\pi }{t}$。

而对于$e^{jwt}$,它其实描述的是某一个点在复平面上的位置，是根据欧拉公式得到的，在之前的文章中，我们使用单位脉冲分解可以表示信号，现在，我们使用复数来看一下复指数信号。

1.实数、虚数、复数

• 虚数：在数学里,将平方是负数的数定义为纯虚数
• 实数：有理数和无理数的总称；其中无理数就是无限不循环小数，有理数就包括整数和分数
• 复数： z = a + b i , { a 、 b ∈ R ， a ≠ 0 、 b ≠ 0 } z=a+bi, \{a、b∈R，a≠0、b≠0\} z=a+bi,{a、b∈R，a=0、b=0}，其中$i^2=-1$是指虚数单位，当$a=0,b\ne 0$ 时$z$是纯虚数，当$a\ne 0,b=0$时，$z$是实数

2.对虚数和复数的理解

1. 发展历史
   复数最早出现于公元1世纪希腊数学家海伦，而给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔（1596~1650）发表出来的。
   刚开始复数的出现不被人们理解，就像$4-3$人们可以很好理解，那么$3-4$呢？这到底是什么意思？你怎么能从 4 头奶牛中拿走 3 头奶牛？你怎么能比没有少呢？于是出现了可以跟踪方向的+、-号，那么就可以理解为你还欠我一头奶牛没给我。
   在数学家的目标中，数学体系的一部分就是要确保每个方程都有解，如果$i^2>0$很好理解，那么$i^2=-1$该怎么理解呢，于是就出现了无法在一维实数线上找到对应值的数——虚数。

2. 几何意义
   首先思考一个问题，什么样的$i$乘上自身可以等于-1？
   
   假如我们想从位置A逆时针旋转90°到位置B，再从位置B逆时针旋转90°到位置C，那么是不是 $1\ast （逆时针旋转90°{)}^2=-1$，是不是把复数在几何中当作旋转这种想法让人非常吃惊？

3.复平面

复平面是用来表示复数的一个二维坐标系，和实数二位坐标系类似，复平面同样有两个轴，只不过一个是实轴，一个是虚轴，如下图：

前面我们说过$i$是代表位置A逆时针旋转了90°到达了位置B
复数$z=a+bi$在复平面上的含义有：

• 实部 $a$：代表复数在 实轴 上的位置。
• 虚部$b$：代表复数在 虚轴 上的位置
• 复数$z$：表示复平面上的一个点，或者说是一个从原点到平面上某个位置的向量

从上图我们可以得到$z=1+1\ast i$，之前我们说过$i$在几何种表示逆时针旋转90°，我们可以看到$1+1\ast i$的表示为逆时针旋转45°，注意看$z$在复平面上的位置。

4.复数和三角函数

• 三角函数的理解

在音频基础学习二——声音的波形中，提到了所有的波通过傅里叶变化可以成为正弦波的叠加，反过来，正弦波的叠加最终变为了我们实际数字信号的音频波。

而三角函数作为将角度和弧度联系的数学工具，在单位圆1中，可以把$\sin \theta$ 看作竖轴的坐标，$\cos \theta$看作横轴的坐标即 $位置D=\sin \alpha =CD,位置E=\cos \alpha =AD$

那么如果这个平面是复平面，那么$z=a+bi=>z=\cos \alpha +\sin \alpha i$

• 极坐标

极坐标是复数$z$的另外一种表示方式，使用角度$\theta$和模长$r$进行表示，替换了实轴和虚轴的坐标，其实就是上面的公式$z=\cos \alpha +\sin \alpha i$，只是这个公式只有在半径为1的时候才正确，正确的表达方式应该是$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$，此时$r$为了便于区分，不叫作半径，叫做模长.

5.复数的运算

• 加法
  复数的加法和物理中实数的加法类似，例如下图，有AB和AC的力，那么最终力是多少？
  
  AB分解为AE和AF， AC分解为AG和AH，那么最终力AD就是AE+AG， AH+AF，即$z=(3+1\ast i)+(1+3\ast i)=(4+4\ast i)$
• 乘法
  假如现在有$z=(3+1\ast i)\ast (1+1\ast i)=3\ast 1+3\ast i+1\ast i+i^2=2+4i$，那么这个有什么意义呢，如下图：
  
  上文我们说过$1+1\ast i$的表示为逆时针旋转45°，而上面的最终极坐标的位置也是移动了45°，事实上复数的乘法代表了：模长的拉长（下文中解释），以及极坐标的旋转。

6.欧拉公式

欧拉公式（Euler’s formula）是复分析中的一个重要公式，它展示了复指数函数和三角函数之间的关系。公式的形式为（推导过程太复杂不进行赘述，有兴趣可以自己百度看）：
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\ast \sin \theta$$
我们根据欧拉公式得到复数的表示形式为：
$$z=r\ast e^{i\theta }$$
假设有两个复数：

• $z_1=2\ast e^{i30°}$：表示模长为2，角度为30°
• $z_2=3\ast e^{i45°}$ ：表示模长为3，角度为45°
• $z_1\ast z_2=2\ast 3\ast e^{i(30°+45°)}=6\ast e^{i75°}$：表示模长为6，角度为75°

三、积分运算

1.定积分

定积分是微积分中的一种运算，它可以用来计算一个函数在某个区间上的“总和”，例如面积、体积或累积量。它的表达方式为：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

• $f(x)$：是被积函数
• $a,b$:是积分的上下限
• $dx$:表示对于$x$的积分
• $F(x)$：是$f(x)$的原函数，即$F^{\prime }(x)=f(x)$

2.不定积分

不定积分是求一个函数的原函数的过程，结果是一个包含常数项 $C$的函数。它的表达方式为：
$$\int f(x)dx=F(x)+C$$

• $F(x)$：是$f(x)$的原函数$
• $C$：是积分常数

注意：虽然定积分和不定积分看起来只是没有了上下限，且在$F(a)-F(b)$时，积分常数$C$被相减消失，但是两者有本质的区别，前者用于计算函数区间上的面积（是数值），后者是寻找原函数的，是函数。

3.基本的积分公式

被积函数$f(x)$	原函数$\int f(x)dx$
$x^n,n\ne 1$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
$\frac{1}{x}$	$\ln \mid x\mid +C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x,a>0$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
${\sec }^x$	$\tan x+C$
${\csc }^x$	$-\cot x+C$
$\sec x\tan x$	$\sec x+C$
$\csc x\cot x$	$-\csc x+C$

4.积分规则

线性

积分同样具有线性，即满足叠加和齐次性

• $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$
• $\int c\ast f(x)dx=c\ast \int f(x)dx$

替换法

对于复合函数，可以通过变量替换（u-substitution）来简化积分。例如：
$$\int (2x)e^{x^2}dx$$
令$u=x^2,du=2xdx$，则
$$\int e^{u}du=e^u+C=e^{x^2}+C$$

分部积分法

分部积分法用于积分两个函数的乘积，公式为：
$$\int udv=uv-\int vdu$$
例如：
$$\int x{e}^{x}dx$$
令$u=x,dv=e^{x}dx,du=dx,v=e^x$，则：
$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C$$

5.定积分计算实例

例如，现在有函数$f(x)=x^2$，那么求$x\in [1,2]$时的面积：

• 定积分的理解：
  假设我们把区间$[a,b]$分割成$n$等份，即$\Delta x=\frac{b-a}{n},x_0=a,x_1=a+\Delta ,x_2=a+2\times \Delta ,...,x_n=b$，此时当$n$趋向无穷大时，$f(x_0)=f(x_1)$，所以面积就变成了$n$个面积的累加和，就有：
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$$
• 结合积分公式得结果
  $${\int }_1^2{x}^{2}dx=F(2)-F(1)=\frac{2^{2+1}}{2+1}-\frac{1^{2+1}}{2+1}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}\approx 2.33$$
  

6.简单描述积分在CFT作用

对于连续时间傅里叶变换
$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-jwt}dt$$
$f(t)$是时域信号，$F(W)$是对应的频域信号，积分的作用是将$f(t)$和$e^{-jwt}$做点积，用来测量$f(t)$在频率$W$上的投影。换句话说，积分计算了信号在特定频率下的权重（即幅值和相位）。

具体详细过程受文章篇幅影响，在之后的文章中给出详细解释。

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总结

在本篇文章中，先介绍了对于傅里叶变换的历史、傅里叶变换的多个公式，以及对于公式中所需要的数学知识做了详细的介绍。结合图形的方式理解欧拉公式中，复指数函数和三角函数的关系，使用复指数函数来表述信号。同时介绍了积分的运算知识，简单描述了积分在傅里叶变换中的作用。

在一篇文章中，将深入解析傅里叶变换公式以及它的应用。

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