线代的几何意义（3）——行列式与矩阵的逆

前情提要：我们分析了高维矩阵与非方阵对应着什么样的线性变换，这次来研究矩阵中重要的概念：行列式与逆。

行列式

我们知道，一个矩阵对应着一次线性变换，可以看成对坐标系的压缩，拉伸等操作。而这个过程里，我们就用行列式来描述线性变换前后的坐标系缩放。

用与之前相似的研究方法，或者说，线性变换的重要表征方式就是对基底的变换，我们这里同样关注基底。

---

以正交单位基底开始，可以说此时基底张成（围成）的面积是1。

有如下矩阵：

$$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$

此时，基底变为$i(2,0),j(0,1)$，基底张成的面积变为$2\times 1+0\times 0=2$，我们此时则称，这个面积为二维方阵的行列式。即上述矩阵的行列式为2。

然后，我们对这样的操作进行拓展，当$i$基底与$j$基底的相对位置在旋转后翻转了，我们说此时的行列式值为负数。

---

按照这样的推理，你可能会自然而然的想到，那么三维方阵的行列式就该是三个基底在空间中张成的体积。并且，事实也是如此，三维方阵的行列式就是线性变换后三个基底组成的平行六面体的体积。

---

矩阵的逆

经过前面几次对矩阵几何解释的分析，如果你知道矩阵的逆的概念，那矩阵的逆的几何解释应该就自然而然的能够推导出来了。

以矩阵$\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$为例，很显然，这个矩阵的线性变换是将坐标系逆时针旋转90°。那么，我们说一个矩阵的逆就是一种还原或者说撤销操作的线性变换。在这里，这个矩阵的逆对应的线性变换就应是将坐标系顺时针旋转90°，还原成原本的坐标系。

即，逆为$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$