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常见的函数求导公式以及复合函数的求导公式

news 2025/2/21 3:14:56

常见的函数求导公式以及复合函数的求导公式（链式法则）。

常见函数的求导公式

  1. 常数函数：

    \frac{d}{dx}(c) = 0(c 为常数)

  2. 幂函数：

    \frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}(n 为任意实数)

  3. 指数函数：

    \frac{d}{dx}(e^x) = e^x            \frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln(a) \quad (a > 0)

  4. 对数函数：

    \frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x} \quad (x > 0)             \frac{d}{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x \ln(a)} \quad (x > 0, a > 0, a \neq 1)

  5. 三角函数：

    \frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)                                                                                                              \frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)                                                                                                         \frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)                                                                                                           \frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x)                                                                                             \frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x)                                                                                                 \frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)

  6. 反三角函数：

    \frac{d}{dx}(\arcsin(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)                                                                           \frac{d}{dx}(\arccos(x)) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad (-1 < x < 1)                                                                       \frac{d}{dx}(\arctan(x)) = \frac{1}{1+x^2}

复合函数的求导公式（链式法则）

如果y = f(g(x))，则其导数为：

\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)

示例

  1. 求导示例：

    • 对于y = \sin(x^2)，我们可以使用链式法则：
    \frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot (2x) = 2x \cos(x^2)

  2. 对数与指数的组合：

    • 对于 y = e^{\sin(x)}，使用链式法则：
    \frac{dy}{dx} = e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)

http://www.mrgr.cn/news/65245.html

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