【数学二】多元函数积分学-重积分-二重积分定义、性质、计算

考试要求

1、了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义.
2、了解二元函数的极限与连续的概念，了解有界闭区域上二元连续函数的性质.
3、了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶、二阶偏导数，会求全微分，了解隐函数存在定理，会求多元隐函数的偏导数.
4、了解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小.值，并会解决一些简单的应用问题.
5、了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标).

二重积分

二重积分的定义及几何意义

定义 设$z=f(x,y)$是平面上有界闭区域 $D$上的有界函数 $${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \stackrel{△}{=}\underset{d\to 0}{\lim }\sum _{k=1}^{n}f({\xi }_k,{\eta }_k)△{\sigma }_k$$
其中$d$为$n$个小区域直径的最大值，$△{\sigma }_k$w为第$k$ 个小区域的面积


几何意义 若函数$f(x,y)$在区域$D$上连续且非负，则二重积分${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$在几何上表示以区域 $D$为底，曲面$z=f(x,y)$为顶，侧面是以$D$的边界为准线、母线平行于$z$轴的柱面的曲顶柱体的体积；若$f(x,y)\le 0$，二重积分的值为负值，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

二重积分的性质

与定积分的性质类似，列出如下几条：
1、 比较定理：如果在$D$上，$f(x,y)\le g(x,y)$，则$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le {\iint }_{D}g(x,y)d\sigma$$


2、估值定理： 设$M,m$分别为连续函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的最大值和最小值，$S$表示区域$D$的面积，则$$mS\le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le MS$$


3、中值定理：设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$S$为$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )S$$

练习1：设$I_1={\iint }_D\sin \sqrt{x^2+y^2}dxdy,I_2={\iint }_D\sin (x^2+y^2)dxdy,I_3={\iint }_D\sin (x^2+y^2{)}^{2}dxdy，其中D=(x,y)|x^2+y^2\le 1$，则$I_1，I_2，I_3$ 大小关系？

解：$$\begin{gathered} f(x,y)=\sin \sqrt{x^2+y^2},g(x,y)=sin(x^2+y^2),u(x,y)=\sin (x^2+y^2{)}^2 \\ 由D可知：\sqrt{x^2+y^2}\ge (x^2+y^2)\ge (x^2+y^2{)}^2 \\ 由\sin x在[0,1]单调递增，故： \\ f(x,y)\ge g(x,y)\ge u(x,y)由二重积分比较定理可得： \\ {I}_1\ge I_2\ge I_3在(0,0)取等号 \end{gathered}$$

练习2：设$f(x,y)$在$D_r=\{(x,y)|x^2+y^2\le r^2\}$上连续，$f(0,0)=2$，则${\lim }_{r\to 0}\frac{{\iint }_{D_r}f(x,y)dxdy}{r^2}=$?

知识点：
中值定理：设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$S$为$D$的面积，则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =f(\xi ,\eta )S$$

解：$$\begin{gathered} 因为f(x,y)连续，由二重积分中值定理，\exists (\xi ,\eta )\in D_r，使得 \\ {\iint }_{D_r}f(x,y)dxdy=f(\xi ,\eta )S=\pi r^2 \\ \underset{r\to 0}{\lim }\frac{{\iint }_{D_r}f(x,y)dxdy}{r^2}=\pi \underset{r\to 0}{\lim }f(\xi ,\eta )=2\pi \end{gathered}$$

二重积分的计算

1、在直角坐标下计算
在直角坐标下计算重积分关键是将重积分化为累次积分，累次积分有两种次序，累次积分的此项往往根据积分域和被积函数确定。

1)、适合先y后x的积分域

若积分域$D$由不等式$\{\begin{array}{l}{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\\ \\ a\le x\le b\end{array}$确定，则该区域$D$上的二重积分适合先$y后x$的累次积分，且$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dx{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy$$

2)、适合先x后y的积分域

若积分域$D$由不等式$\{\begin{array}{l}{\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y)\\ \\ a\le y\le b\end{array}$确定，则该区域$D$上的二重积分适合先$y后x$的累次积分，且$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_a^{b}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx$$

累次积分 $f(x,y)$连续，同时存在两个求积顺序不同的积分$$\begin{gathered} {\int }_a^b[{\int }_c^{d}f(x,y)dy]dx与{\int }_c^d[{\int }_a^{b}f(x,y)dx]dy \\ 书写方便可以将上面积分: \\ {\int }_a^{b}dx{\int }_c^{d}f(x,y)dy与{\int }_c^{d}dy{\int }_a^{b}f(x,y)dx \end{gathered}$$ 在$f(x,y)$连续的假设，累次积分与求积顺序无关

2、在积坐标下计算
在积坐标下，一般是将二重积分化为先$r后\theta$的累次积分，常见有以下四种情况：

1)、极点O在区域D之外



$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

2)、极点O在区域D边界上



$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

3)、极点O在区域D内部



$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{r(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

4)、环形区域，且极点O在环形区域内部



$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr$$

二重积分选择极坐标计算小TIPS

1、适合用极坐标计算的二重积分被积函数一般具有以下形式
$$f(\sqrt{x^2+y^2}),f(\frac{y}{x}),f(\frac{x}{y})$$
上述形式在积坐标下都可化为$r、\theta$的一元函数。


2、适合用极坐标计算的二重积分的积分域一般具有以下形状：


中心在原点的圆域、圆环域、或是它们的一部分（如扇形）；
中心在坐标轴上且边界圆过原点的圆域（如$x^2+y^2=2ax或x^2+y^2=2by$所围成）或者它们的一部分。

3、利用对称性和奇偶性进行计算


1、利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性


1)、若积分域$D$关于$y$轴对称，且被积函数$f(x,y)$关于x有奇偶性，则：
$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)关于x为偶函数，即f(-x,y)=f(x,y)\\ \\ 0,f(x,y)关于x为奇函数，即f(-x,y)=-f(x,y)\end{array}$$
其中$D_1$为D在y轴右侧的部分。

2)、若积分域$D$关于$x$轴对称，且被积函数$f(x,y)$关于y有奇偶性，则：
$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\{\begin{array}{l}2{\iint }_{D_1}f(x,y)d\sigma ,f(x,y)关于y为偶函数，即f(x,-y)=f(x,y)\\ \\ 0,f(x,y)关于y为奇函数，即f(x,-y)=-f(x,y)\end{array}$$
其中$D_1$为D在x轴上半部分。


2、利用变量的对称性
若积分域D关于直线y=x对称（表示积分域D的等式或不等式中将x与y对调后原等式或不等式不变），如，圆域$x^2+y^2\le R^2$，正方形域$\{\begin{array}{l}0\le x\le 1\\ \\ 0\le y\le 1\end{array}$，则$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma$$
即：被积函数中$x$和$y$对调积分值不变。

练习1：计算二重积分${\iint }_D\sqrt{y^2-xy}dxdy$ ，其中D是$y=x,y=1,x=0$所围成的平面区域。

知识点 : 在直角坐标下计算
1、$\sqrt{y^2-xy}$是x的一次函数，选择先x后y比较简单

解：$$\begin{gathered} {\iint }_D\sqrt{y^2-xy}dxdy={\int }_0^{1}dy{\int }_0^y\sqrt{y^2-xy}dx \\ =-\frac{2}{3}{\int }_0^1\frac{1}{y}(y^2-xy{)}^{\frac{3}{2}}{|}_0^{y}dy \\ =\frac{2}{3}{\int }_0^1{y}^{2}dy \\ =\frac{2}{9}{y}^3{|}_0^1=\frac{2}{9} \end{gathered}$$

练习2：计算${\iint }_D(x^2+y^2)dxdy，D$为由不等式$\sqrt{2x-x^2}\le y\le \sqrt{9-x^2}$所确定的在第一象限内的区域

解：$$\begin{gathered} 令x=r\cos \theta ，y=r\sin \theta \\ 由\sqrt{2x-x^2}\le y\le \sqrt{9-x^2}所确定的在第一象限内的区域可得： \\ \{\begin{array}{l}2x\le x^2+y^2\le 9\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2\cos \theta \le r\le 3\\ 0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\end{array} \\ {\iint }_D(x^2+y^2)dxdy={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_{2\cos \theta }^3{r}^{2}rdr \\ ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{4}{r}^4{|}_{2\cos \theta }^{3}d\theta =\frac{1}{4}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(81-16{\cos }^4\theta )d\theta \\ =\frac{81}{4}\theta {|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos 4\theta +4\cos 2\theta +3)d\theta \\ =\frac{81\pi }{8}-[\frac{1}{8}\sin 4\theta +\sin 2\theta +\frac{3\theta }{2}]{|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{75\pi }{8} \end{gathered}$$

练习3：积分${\int }_0^{2}dx{\int }_0^{\sqrt{2x-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy=$?

解：$$\begin{gathered} 令x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta \\ \{\begin{array}{l}0\le x\le 2\\ \\ 0\le y\le \sqrt{2x-x^2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}0\le r\le 2\cos \theta \\ \\ 0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\end{array} \\ {\int }_0^{2}dx{\int }_0^{\sqrt{2x-x^2}}\sqrt{x^2+y^2}dy={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_0^{2\cos \theta }rrdr \\ ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}[{\cos }^3\theta ]d\theta =\frac{8}{3}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1-{\sin }^2\theta d\sin \theta \\ =\frac{8}{3}\sin \theta {|}_0^{\frac{\pi }{2}}-\frac{8}{9}{\sin }^3\theta {|}_0^{\frac{\pi }{2}}=\frac{16}{9} \end{gathered}$$

练习4：${\int }_0^{1}dy{\int }_y^1\frac{\cos x}{x}dx=$?

解：$$\begin{gathered} 由题意可知:\{\begin{array}{l}0\le y\le 1\\ \\ y\le x\le 1\end{array}定义域关于y=x对称，利用变量对称性可知 \\ {\int }_0^{1}dy{\int }_y^1\frac{\cos x}{x}dx={\int }_0^{1}dx{\int }_0^x\frac{\cos x}{x}dy \\ ={\int }_0^1\cos xdx=\sin 1 \end{gathered}$$

练习5：设$D=\{(x,y)|x^2+y^2\le r^2\}$，则${\iint }_D(x^3+\sin y+1)dxdy=?$

知识点：利用积分域的对称性和被积函数的奇偶性

解：$$\begin{gathered} {\iint }_D(x^3+\sin y+1)dxd={\iint }_D{x}^{3}dxdy+{\iint }_D\sin ydxdy+{\iint }_{D}dxdy \\ {\iint }_D{x}^{3}dxdy=0(x^3为奇函数，D关于y轴对称) \\ {\iint }_D\sin ydxdy=0(\sin y为奇函数，D关于x轴对称) \\ {\iint }_D(x^3+\sin y+1)dxd=0+0+\pi r^2=\pi r^2 \end{gathered}$$

练习6：$f(t)$为连续函数，D是由$y=x^3，y=1,x=-1$围成的区域，则${\iint }_{D}xyf(x^2+y^2)dxdy=$?

解：$$\begin{gathered} 令F(x,y)=xyf(x^2+y^2)由函数奇偶性定义可知F(x,y) \\ 关于x，y均为奇函数，根据题意画区间D的图如下： \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 从上图可知D3与D4关于x轴对称，D2与D1关于y轴堆成 \\ {\iint }_{D}xyf(x^2+y^2)dxdy={\iint }_{D_1}xyf(x^2+y^2)dxdy+{\iint }_{D_2}xyf(x^2+y^2)dxdy+{\iint }_{D_3}xyf(x^2+y^2)dxdy+{\iint }_{D_4}xyf(x^2+y^2)dxdy=0 \end{gathered}$$