（自用复习题）常微分方程07
题目来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社
书中习题2.4
求解下列方程
(2)
y ′ 3 − x 3 ( 1 − y ′ ) = 0 y'^3-x^3(1-y')=0 y′3−x3(1−y′)=0
记 y ′ = t x y'=tx y′=tx ，则方程化为
( t 3 − 1 + t x ) x 3 = 0 (t^3-1+tx)x^3=0 (t3−1+tx)x3=0
所以 x = 1 t − t 2 x=\frac{1}{t}-t^2 x=t1−t2 ， y ′ = 1 − t 3 y'=1-t^3 y′=1−t3
那么
d y = [ ( 1 − t 3 ) ( − 1 t 2 − 2 t ) ] d t \mathrm{d}y=\left[(1-t^3)\left(-\frac{1}{t^2}-2t\right)\right]\mathrm{d}t dy=[(1−t3)(−t21−2t)]dt
积分得
y = − 1 2 t 2 + 2 5 t 5 + 1 t + c y=-\frac{1}{2}t^2+\frac{2}{5}t^5+\frac{1}{t}+c y=−21t2+52t5+t1+c
(4)
y ( 1 + y ′ 2 ) = 2 a , a 为常数 y(1+y'^2)=2a,a为常数 y(1+y′2)=2a,a为常数
令 y ′ = tan t y'=\tan t y′=tant ，则原方程化为
y = 2 a cos 2 t y=2a\cos^2t y=2acos2t
那么
d x = d y tan t = − 4 a cos 2 t d t \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{\tan t}=-4a\cos^2t\mathrm{d}t dx=tantdy=−4acos2tdt
积分得
x = − a ( 2 t + sin 2 t ) + c x=-a(2t+\sin2t)+c x=−a(2t+sin2t)+c
(5)
x 2 + y ′ 2 = 1 x^2+y'^2=1 x2+y′2=1
令 y ′ = cos t y'=\cos t y′=cost ，则方程可化为 x = ± sin t x=\pm\sin t x=±sint
所以 d y = cos t d x = ± cos 2 t d t \mathrm{d}y=\cos t\mathrm{d}x=\pm\cos^2t\mathrm{d}t dy=costdx=±cos2tdt
积分得
y = t 2 + 1 4 sin 2 t + c y=\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin2t+c y=2t+41sin2t+c
(6)
y 2 ( y ′ − 1 ) = ( 2 − y ′ ) 2 y^2(y'-1)=(2-y')^2 y2(y′−1)=(2−y′)2
令 2 − y ′ = t y 2-y'=ty 2−y′=ty ，则原方程化为
y 2 ( 1 − y t ) = y 2 t 2 y^2(1-yt)=y^2t^2 y2(1−yt)=y2t2
解得 y = 1 t − t y=\frac{1}{t}-t y=t1−t ， y ′ = 1 + t 2 y'=1+t^2 y′=1+t2
d x = d y 1 + t 2 = − 1 t 2 d t \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}y}{1+t^2}=-\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t dx=1+t2dy=−t21dt
积分得
x = 1 t + c x=\frac{1}{t}+c x=t1+c