2024年国考

数学

一，逻辑符号表示（3 分）

1，只有获得奥运会资格的运动员才可以参加奥运会，参加奥运会的云动员不一定获奖。

1. 设：

• ( Q(x) )：运动员 ( x ) 获得奥运会资格
• ( P(x) )：运动员 ( x ) 参加奥运会
• ( A(x) )：运动员 ( x ) 获奖

命题符号化：

• “只有获得奥运会资格的运动员才可以参加奥运会”

$$\forall x(P(x)\to Q(x))$$
（所有参加奥运会的运动员 ( x ) 必须获得资格）

• “参加奥运会的运动员不一定获奖”
  $$\exists x(P(x)\wedge \neg A(x))$$
  （存在至少一个参加奥运会的运动员 ( x ) 未获奖）

$$\forall x(P(x)\to Q(x))\wedge \exists y(P(y)\wedge \neg A(y))$$
二，选择题（10 分）

1，论域为 $\mathrm{D},\exists \mathrm{x}(\mathrm{P}(\mathrm{x}))=FALSE$，则（B）

A: D 的任意一个都为 FALSE
B: D 中只要一个为 FALSE

2，关系闭包的延展， r®, ~ s®, ~ t® 分别表示自反，对称，传递闭包， $\mathrm{sr}(\mathrm{R}),\mathrm{tsr}(\mathrm{R})$ ，

3，Ramsey 树

4，完全错排， 5 个同学去选书，每个都有一本不喜欢的书，问正好选不到自已的不喜欢的书的可能性（）

A：
B：
C： 5!(1-1 / 1!+1 / 2!-1 / 3!+1 / 4!-1 / 5!)
D：

5，牛顿二项式 $1/(1+2\mathrm{x}{)}^{\mathrm{n}}，求{\mathrm{x}}^{\mathrm{r}}$ 系数

A：
B：
C： $\mathrm{C}(\mathrm{n}+\mathrm{r}-1,\mathrm{r})(-2{)}^{\mathrm{r}}$
D：

三，填空题（10 分，第一条每空 1 分， 2 题 2 分）

1．集合 A = { 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 16 , 18 } A=\{3,4,6,8,9,12,16,18\} A={3,4,6,8,9,12,16,18} ，偏序关系 R 为 A 上的整除关系，则 $⟨A,R>$ 最长链长度 \qquad ，最长链个数 \qquad ，最长反链长度 \qquad ，最长反链个数 \qquad ，极大元个数 \qquad ，极小元个数 \qquad ，最小元为 \qquad ，最大元为 \qquad 。

集合 A = {3,4,6,8,9,12,16,18}，偏序关系 R 为整除关系。

1. 最长链长度
   最长链为全序子集，元素间可逐层整除。例如：

   • 3 → 6 → 12（长度3）
   • 3 → 6 → 18（长度3）
   • 3 → 9 → 18（长度3）
   • 4 → 8 → 16（长度3）
     答案：3

2. 最长链个数
   上述四条链均为最长链。
   答案：4

3. 最长反链长度
   反链是元素间均不可比较的最大子集。例如：

   • {3,4,8}（长度3）
   • {4,6,9}（长度3）
   • {6,8,9}（长度3）
   • {6,9,16}（长度3）
     答案：3

4. 最长反链个数
   上述四组反链均为最长反链。
   答案：4

5. 极大元个数
   极大元是未被其他元素整除的元素：12, 16, 18。
   答案：3

6. 极小元个数
   极小元是无法被其他元素整除的元素：3, 4。
   答案：2

7. 最小元与最大元
   无元素能整除或被所有元素整除，故无最小元和最大元。
   答案：无

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最终答案：

1. 最长链长度：3，最长链个数：4，最长反链长度：3，最长反链个数：4，极大元个数：3，极小元个数：2，最小元：无，最大元：无。

2． $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=7$ 的非负整数的拆分数是 \qquad 。

这个问题可以通过组合数学中的“隔板法”（也称为“星与条法”）来解决。隔板法用于解决将不可区分的对象分配到可区分的组中的问题。

具体来说，问题是要找到方程 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=7$ 的非负整数解的个数。这里，$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$ 是非负整数，表示将7个相同的对象（比如球）分配到6个不同的盒子（变量）中的方法数。

根据隔板法，将 $n$ 个相同的对象分配到 $k$ 个不同的组中的方法数为 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+k-1}{k-1}\right)$。在这个问题中，$n=7$（7个球），$k=6$（6个盒子），所以我们要计算的是 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7+6-1}{6-1}\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5}\right)$。

计算 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5}\right)$：
$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{5}\right)=\frac{12!}{5!(12-5)!}=\frac{12!}{5!7!}=\frac{12\times 11\times 10\times 9\times 8}{5\times 4\times 3\times 2\times 1}=792$$

因此，方程 $x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6=7$ 的非负整数解的个数是 792。

四，计算题（10 分）

1，已知六个字母 a, b, c, d, e, f ，

a．求必须出现 a b c 的排列数
b．求必须出现 ef 的排列数
c．求不能出现 abc 和 ef 的排列数

答案：

a. 必须出现 abc 的排列数
将 “abc” 视为一个整体，与剩余字母 d, e, f 共同组成 4 个“块”。这 4 个块的排列数为：
$$4!=24$$
答案：24

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b. 必须出现 ef 的排列数
将 “ef” 视为一个整体，与剩余字母 a, b, c, d 共同组成 5 个“块”。这 5 个块的排列数为：
$$5!=120$$
答案：120

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c. 不能出现 abc 和 ef 的排列数

1. 总排列数：6 个字母的全排列为 (6! = 720)。
2. 出现 abc 的排列数：如问题 a，为 (4! = 24)。
3. 出现 ef 的排列数：如问题 b，为 (5! = 120)。
4. 同时出现 abc 和 ef 的排列数：将 “abc” 和 “ef” 视为两个块，加上剩余字母 d，共 3 个“块”，排列数为 (3! = 6)。

容斥原理计算：
$$\text{无效排列数}=24+120-6=138$$
$$\text{有效排列数}=720-138=582$$

答案：582

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最终答案：
a. 24
b. 120
c. 582

2，已知 ${\mathrm{a}}_0=5,{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}=2{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}-1}-7$ ，

a．求 ${\mathrm{a}}_4$
b．求 $a_n$ （值包含 n ）

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =5,\\ a_1& =2\cdot 5-7=3,\\ a_2& =2\cdot 3-7=-1,\\ a_3& =2\cdot (-1)-7=-9,\\ a_4& =2\cdot (-9)-7=-25.\end{array}$$
答案：
$$a_4=\boxed{-25}$$

b. 求通项 ( a_n ):
解法（使用齐次方程）：

1. 对应的齐次方程：( a_k = 2a_{k-1} )，其通解为：
   $$a_k^{(h)}=C\cdot 2^k(C\text{ 为常数}).$$

2. 非齐次方程的特解：假设特解为常数 ( a_k^{§} = A )，代入原方程：
   $$A=2A-7⟹A=7.$$

3. 通解：齐次解 + 特解，即：
   $$a_k=C\cdot 2^k+7.$$

4. 利用初始条件 ( a_0 = 5 ) 确定常数 ( C ):
   $$5=C\cdot 2^0+7⟹C=-2.$$

最终通项公式为：
$$a_n=7-2^{n+1}.$$

答案：
$$a_n=\boxed{7-2^{n+1}}$$

五，证明题（7 分，第一题 4 分，第二题 3 分）

1，证明 A \oplus B x C=(A x C) \oplus(B x C)

证明：
要证明集合运算 $(A\oplus B)\times C=(A\times C)\oplus (B\times C)$，需验证两集合互相包含。

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定义回顾

1. 对称差（(\oplus)）：
   $$A\oplus B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$$
2. 笛卡尔积（(\times)）：
   $$A\times C=\{(a,c)\mid a\in A,c\in C\}$$

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步骤1：证明$(A\oplus B)\times C\subseteq (A\times C)\oplus (B\times C)$

任取 $(x,c)\in (A\oplus B)\times C$，则：

• $x\in A\oplus B$，即 $x\in A\setminus B$ 或$x\in B\setminus A$，
• $c\in C$。

情况1：若$x\in A\setminus B$，则：

• $(x,c)\in A\times C$,
• 但 $x\notin B$，故 $(x,c)\notin B\times C$。

因此，$(x,c)\in (A\times C)\setminus (B\times C)$，即属于右侧的对称差。

情况2：若 $x\in B\setminus A$，则：

• $(x,c)\in B\times C$,
• 但 $x\notin A$，故 $(x,c)\notin A\times C$。

因此，$(x,c)\in (B\times C)\setminus (A\times C)$，即同样属于右侧的对称差。

综上，$(A\oplus B)\times C\subseteq (A\times C)\oplus (B\times C)$。

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步骤2：证明 $(A\times C)\oplus (B\times C)\subseteq (A\oplus B)\times C$

任取 $(y,d)\in (A\times C)\oplus (B\times C)$，则：

• $(y,d)$属于$A\times C\setminus B\times C$ 或 $B\times C\setminus A\times C$。

情况1：若 $(y,d)\in A\times C\setminus B\times C$，则：

• $y\in A$ 且 $d\in C$,
• 但 $y\notin B$ 或 $d\notin C$。
  由于 $d\in C$（由 $(y,d)\in A\times C$），故 $y\notin B$，即 $y\in A\setminus B$。
  因此 $y\in A\oplus B$，且 $d\in C$，所以 $(y,d)\in (A\oplus B)\times C$。

情况2：若 $(y,d)\in B\times C\setminus A\times C$，则：

• $y\in B$ 且 $d\in C$,
• 但 $y\notin A$ 或 $d\notin C$。
  同理，$d\in C$，故 $y\notin A$，即 $y\in B\setminus A$。
  因此 $y\in A\oplus B$，且 $d\in C$，所以 $(y,d)\in (A\oplus B)\times C$。

综上，$(A\times C)\oplus (B\times C)\subseteq (A\oplus B)\times C$。

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结论
由于双向包含关系成立，原等式得证：
$$\boxed{A\oplus B\times C=(A\times C)\oplus (B\times C)}$$

2，图 G 有 n 分顶点， m 条边， f 分面，不包含三角形，证明 \mathrm{f}<\mathrm{m} / 2 ．

解答：

题目：设图 ( G ) 有 ( n ) 个顶点、( m ) 条边、( f ) 个面，且不含三角形，证明 ( f < \dfrac{m}{2} )。

证明步骤：

1. 面的度数约束
   由于图 ( G ) 不含三角形（即无长度为 3 的面），每个面的度数至少为 4。因此，所有面的度数之和满足：
   $$\sum _{\text{面}}\text{度数}\ge 4f.$$
   又因每条边属于恰好两个面，故总度数之和等于 ( 2m )，即：
   $$4f\le 2m⟹f\le \frac{m}{2}.$$

2. 排除等号情况
   若所有面的度数均为 4，则$4f=2m⟹f=\frac{m}{2}$。此时，代入欧拉公式 $n-m+f=2$，得：
   $$n-m+\frac{m}{2}=2⟹m=2n-4.$$
   这表明当边数 ( m = 2n - 4 ) 时，可能存在每个面为四边形的情况（例如立方体图）。然而，题目未限定此类特例，且一般情况下图中至少存在一个面的度数超过 4。此时：
   $$\sum _{\text{面}}\text{度数}\ge 4(f-1)+5=4f+1,$$
   从而：
   $$2m\ge 4f+1⟹f\le \frac{2m-1}{4}<\frac{m}{2}.$$

3. 结合欧拉公式
   对于一般情况，当 ( m < 2n - 4 ) 时，由欧拉公式 ( f = m - n + 2 )，可得：
   $$f=m-n+2<\frac{m}{2}.$$
   当 ( m = 2n - 4 ) 时，若存在至少一个面的度数超过 4，则仍满足 ( f < \dfrac{m}{2} )。

结论：
在题目条件下（图不含三角形），必有 ( f < \dfrac{m}{2} )。

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$$\boxed{f<\frac{m}{2}}$$