leetcode-动态规划25
leetcode-53-最大子数组和
int maxSubArray(int* nums, int numsSize) {int dp[numsSize];dp[0] = nums[0];int ans = nums[0];for(int i = 1 ; i < numsSize ; i++){dp[i] = fmax(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);ans = fmax(ans,dp[i]);}return ans;
}leetcode-392-判断子序列
1.动态规划
本题是编辑距离的入门题目，因为从题意中我们也可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。(以i为结尾的字符串也可以，与 718.最长重复子数组类似)
(1) if(s[i-1] == t[j-1]) t中找到了一个字符串s中也出现了
那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1; 因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1
(2) if(s[i-1] != t[j-1]) 相当于t要删除元素，继续匹配
此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];
如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。
(本题和 1143最长公共子序列有相似之处)
bool isSubsequence(char* s, char* t) {int lenS = strlen(s);int lenT = strlen(t);int dp[lenS+1][lenT+1];for(int i = 0 ; i <= lenS ; i++){memset(dp[i],0,sizeof(int)*(lenT+1));}for(int i = 1 ; i <= lenS ; i++){for(int j = 1 ; j <= lenT ; j++){if(s[i-1] == t[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1;}else{dp[i][j] = dp[i][j-1];}}}return dp[lenS][lenT] == lenS;
}2.双指针
bool isSubsequence(char* s, char* t) {int lenS = strlen(s);int lenT = strlen(t);if(lenS == 0 && lenT == 0)return true;int j= 0;for(int i = 0 ; i < lenT ; i++){if(j < lenS && t[i] == s[j]){j++;}if(j == lenS)return true;}return false;
}注：如果有大量输入的 S，称作 S1, S2, ... , Sk 其中 k >= 10 亿，你需要依次检查它们是否为 T 的子序列。在这种情况下，你会怎样改变代码？
leetcode-115-不同的子序列
统计并返回在
s的 子序列 中t出现的个数两种情况：
(1)s[i-1]和t[j-1]相同：dp[i][j]由两部分组成，一部分是由s[i-1]来匹配，个数为dp[i-1][j-1]，一部分是由s[i-1]不来匹配，个数为dp[i-1][j]
(2)s[i-1]和t[j-1]不相同：dp[i][j]只能不由s[i-1]来匹配，个数为dp[i-1][j]
因为求的是 s 中有多少个 t，而不是求t中有多少个s，所以只考虑 s中删除元素的情况，即 不用s[i - 1]来匹配 的情况。
初始化：
dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。
再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。
那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t
int numDistinct(char* s, char* t) {int lenS = strlen(s);int lenT = strlen(t);unsigned long long dp[lenS+1][lenT+1];for(int i = 0 ; i <= lenS ; i++){memset(dp[i],0,sizeof(unsigned long long)*(lenT+1));}for(int i = 0 ; i <= lenS ; i++){dp[i][0] = 1;}for(int i = 1 ; i <= lenS ; i++){for(int j = 1 ; j <= lenT ; j++){if(s[i-1] == t[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j];}else{dp[i][j] = dp[i-1][j];}}}return dp[lenS][lenT];
}leetcode-583-两个字符串的删除操作
dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。
(1) 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
(2) 当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候
情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2
那最后当然是取最小值，所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});
因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);
从字面上理解 就是 当 同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，dp[i][j-1] 本来就不考虑 word2[j - 1]了，那么我在删 word1[i - 1]，是不是就达到两个元素都删除的效果，即 dp[i][j-1] + 1。
int minDistance(char* word1, char* word2) {int len1 = strlen(word1);int len2 = strlen(word2);int dp[len1+1][len2+1];for(int i = 0 ; i <= len1 ; i++){memset(dp[i],0,sizeof(int)*(len2+1));}for(int i = 0; i <= len1 ; i++) dp[i][0] = i;for(int j = 0 ; j <= len2 ; j++) dp[0][j] = j;for(int i = 1 ; i <= len1 ; i++){for(int j = 1 ; j <= len2 ; j++){if(word1[i-1] == word2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]; }else{dp[i][j] = fmin(dp[i-1][j-1] + 2 , fmin(dp[i-1][j] + 1 , dp[i][j-1] + 1));}}}return dp[len1][len2];
}leetcode-72-编辑距离
dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串word1，和以下标j-1为结尾的字符串word2，最近编辑距离为dp[i][j]
if (word1[i - 1] == word2[j - 1])不操作 if (word1[i - 1] != word2[j - 1])增删换1. if(word1[i-1] == word2[j-1]) 那么说明不用任何编辑 dp[i][j] = dp[i-1][j-1]
2. if(word1[i-1] != word2[j-1])
(1) 删除操作和添加操作等价
操作一：word1删除一个元素，那么就是以下标i - 2为结尾的word1 与 j-1为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。dp[i][j] = dp[i-1][j] + 1
操作二：word2删除一个元素，那么就是以下标i - 1为结尾的word1 与 j-2为结尾的word2的最近编辑距离 再加上一个操作。dp[i][j] = dp[i][j-1] + 1
注：word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素，例如 word1 = "ad", word2 = "a",
word1删除元素'd'和word2添加一个元素'd'，变成word1 = "a",word2 = "ad"， 最终的操作数是一样！操作三：替换元素，
word1替换word1[i - 1]，使其与word2[j - 1]相同，此时不用增删加元素。dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1
int minDistance(char* word1, char* word2) {int len1 = strlen(word1);int len2 = strlen(word2);int dp[len1+1][len2+1];for(int i = 0 ; i <= len1 ; i++){memset(dp[i],0,sizeof(int)*(len2+1));}for(int i = 0; i <= len1 ; i++) dp[i][0] = i;for(int j = 0 ; j <= len2 ; j++) dp[0][j] = j;for(int i = 1 ; i <= len1 ; i++){for(int j = 1 ; j <= len2 ; j++){if(word1[i-1] == word2[j-1]){dp[i][j] = dp[i-1][j-1]; }else{dp[i][j] = fmin(dp[i-1][j-1] + 1 , fmin(dp[i-1][j] + 1 , dp[i][j-1] + 1));}}}return dp[len1][len2];
}leetcode-647-回文子串
布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp[i][j]为true，否则为false。
当s[i]与s[j]不相等，dp[i][j]一定是false。
当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况
情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。
没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。
注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分。
int countSubstrings(char* s) {int len = strlen(s);bool dp[len][len];for(int i = 0 ; i < len ; i++){memset(dp[i],false,sizeof(bool)*len);}int res = 0;for(int i = len-1; i >= 0 ; i--){for(int j = i ; j < len ; j++){if(s[i] == s[j]){if(j - i <= 1){dp[i][j] = true;res++;}else if(dp[i+1][j-1]){dp[i][j] = true;res++;}}}}return res;
}leetcode-516-最长回文子序列
dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。
(1) 如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
(2) 如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。
加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。
加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。
那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
初始化：
当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。
注：从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]
所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的
int longestPalindromeSubseq(char* s) {int len = strlen(s);int dp[len][len];for(int i = 0 ; i < len ; i++){memset(dp[i],0,sizeof(int)*len);}for(int i = len-1 ; i >= 0 ; i--){dp[i][i] = 1;for(int j = i+1 ; j < len ; j++){if(s[i] == s[j]){dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;}else{dp[i][j] = fmax(dp[i][j],fmax(dp[i+1][j],dp[i][j-1]));}}}return dp[0][len-1];
}