UVa 11288 Carpool

题目大意：给定 $n$ 个人，按照至多每 $5$ 个人一个小组的方法，分成若干小组，要求分成的小组组数尽可能地少。对于每一个小组来说，需要从起点出发，经过该小组中每个人的“兴趣点”（家或者超市），最终到达终点。定义第 $j$ 个小组从起点到终点且经过每个小组成员的“兴趣点”至少一次的旅程所花费的时间等同于所经过的路径的长度 $d_j$，那么对于某种分组方法 $i$ 来说，此种分组方法所需要的总时间为各个小组所花费时间的最大值 $t_i$，即

t i = max ⁡ { d 1 , d 2 , … , d j } t_i=\max\{d_1,d_2,\dots,d_j\} ti​=max{d1​,d2​,…,dj​}

现在需要确定 $t_i$ 的最小值。

显然，需要枚举所有可能的分组方式来确定最小值。由于 $n$ 最大为 $15$，可知最多分为 $3$ 组。对于每一个小组，需要解决的问题为旅行商问题，可以使用动态规划算法（具体读者可以参考我编写的书或者在网络上搜索相关的资料）。

确定任意两点间的最短距离可以使用 $\text{Floyd-Warshall}$ 算法。

此处给出参考实现。

// Carpool
// UVa ID: 11288
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2024-11-06
// UVa Run Time: 0.020s
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// 版权所有（C）2024，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int INF = 0x3f3f3f3f;int n, m, dist[20][20];
int group, cost, cnt[8], mask[8];
int dp[16][1 << 17];int dfs2(int u, int bit) {if (~dp[u][bit]) return dp[u][bit];if (!bit) return dist[u][n + 1];int tmp = INF;for (int v = 1; v <= n; v++)if (bit & (1 << v))tmp = min(tmp, dist[u][v] + 5 + dfs2(v, bit ^ (1 << v))); return dp[u][bit] = tmp;
}void dfs1(int idx) {if (idx == n + 1) {int tmp = 0;for (int i = 1; i <= group; i++)tmp = max(tmp, dfs2(0, mask[i]));cost = min(cost, tmp);return;}for (int i = 1; i <= group; i++)if (cnt[i] < 5) {cnt[i]++;mask[i] |= (1 << idx);dfs1(idx + 1);cnt[i]--;mask[i] ^= (1 << idx);}    
}int main(int argc, char *argv[]) {cin.tie(0), cout.tie(0), ios::sync_with_stdio(false);while (cin >> n >> m) {memset(dist, INF, sizeof dist);for (int i = 0; i <= n + 1; i++) dist[i][i] = 0;for (int i = 0; i < m; i++) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;dist[u][v] = dist[v][u] = min(dist[u][v], w);}for (int k = 0; k <= n + 1; k++)for (int i = 0; i <= n + 1; i++)for (int j = 0; j <= n + 1; j++)dist[i][j] = min(dist[i][j], dist[i][k] + dist[k][j]);cost = INF;memset(dp, 0xff, sizeof dp);group = n / 5 + (n % 5 ? 1 : 0);for (int i = 1; i <= group; i++) cnt[i] = mask[i] = 0;dfs1(1);cout << cost << '\n';}return 0;
}