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distances = np.linalg.norm(data[:, None] - centers, axis=2)

news 2024/11/15 11:55:39

问题：

如果data的形状是 n×d（样本数 × 特征维度），centers的形状是 k×d(聚类中心数×特征维度)

data[:,None]扩充1维形状变成 n×1×d

那为什么做减法形状变成了 n×k×d？

distances = np.linalg.norm(data[:, None] - centers, axis=2)，虽然 centers 没有显式地扩展维度，但通过 data[:, None] 的操作，数据的维度已经被调整，使得广播机制可以正常工作。

广播

NumPy 的广播机制允许不同形状的数组在一起进行算术运算。广播的规则如下：

（维度数不同）如果数组的维度数不相同，则将维度较小的数组的形状前面补 1，直到两个数组的维度数相同。
（固定维度比长度长度有1）如果两个数组在某个维度上的长度不相同，但其中一个数组在该维度上的长度为 1，则可以进行广播。
（维度相同，长度不同没有1）如果两个数组在任何维度上的长度都不相同，并且其中一个数组在该维度上的长度不为 1，则无法进行广播。

实例学习法：

假设我们有一个二维数组 data，其形状为 (n_samples, feature_dim)，以及一个二维数组 centers，其形状为 (n_clusters, feature_dim)。

import numpy as npdata = np.array([[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]])centers = np.array([[2, 3, 4],[8, 9, 10]])print("Data shape:", data.shape)
print("Centers shape:", centers.shape)

Data shape: (3, 3)
Centers shape: (2, 3)

通过 data[:, None] 操作，我们在第二个维度位置插入一个新的维度，使得 data 的形状变为 (n_samples, 1, feature_dim)。

data_expanded = data[:, None]
print("Data expanded shape:", data_expanded.shape)

Data expanded shape: (3, 1, 3)

此时，data_expanded 的形状为 (3, 1, 3)，而 centers 的形状为 (2, 3)。根据广播机制的规则：

data_expanded 的形状为 (3, 1, 3)。
centers 的形状为 (2, 3)。

为了使两个数组的形状相同，NumPy 会将 centers 的形状扩展为 (1, 2, 3)，这样两个数组的形状就变为：

data_expanded 的形状为 (3, 1, 3)。
centers 的形状为 (1, 2, 3)。

然后，NumPy 会将这两个数组广播为相同的形状 (3, 2, 3)，从而可以进行减法操作。

distances = np.linalg.norm(data[:, None] - centers, axis=2)
print("Distances shape:", distances.shape)
print("Distances:\n", distances)

Distances shape: (3, 2)
Distances:[[ 1.73205081 10.39230485][ 5.19615242  5.19615242][10.39230485  1.73205081]]

解释

data[:, None] 的形状为 (3, 1, 3)。
centers 的形状为 (2, 3)，通过广播机制扩展为 (1, 2, 3)。
通过广播机制，data[:, None] - centers 的结果形状为 (3, 2, 3)。
np.linalg.norm 函数计算沿着 axis=2（即特征维度）的范数，得到的 distances 的形状是 (3, 2)，表示每个样本到每个中心点的距离。