信息安全数学基础（46）域和Galois理论

域详述

1. 定义：

   域是一个包含加法、减法、乘法和除法（除数不为零）的代数结构，其中加法和乘法满足交换律、结合律，并且乘法对加法满足分配律。同时，域中的元素（通常称为数）在加法和乘法下都有单位元，且每个非零元素都有加法逆元和乘法逆元。

2. 性质：

   • 域中的元素在加法和乘法下构成阿贝尔群（即交换群）。
   • 域中的乘法单位元是唯一的，且不等于加法零元。
   • 域中的非零元素在乘法下构成阿贝尔群，且每个元素的乘法逆元也是唯一的。

3. 类型：

   • 有限域：元素个数有限的域，通常记为GF(p^n)，其中p是一个素数，n是一个正整数。有限域在密码学和编码理论中有着广泛的应用。
   • 无限域：元素个数无限的域，如实数域R、复数域C等。

4. 例子：

   • 有理数域Q：包含所有有理数的域。
   • 实数域R：包含所有实数的域。
   • 复数域C：包含所有复数的域。

Galois理论详述

1. 基本概念：

   • 域扩张：设F和K是两个域，如果F是K的子集，则称K是F的一个扩张域，简称域扩张，记作K/F。
   • 代数扩张：如果K中的每一个元素都是F上的代数元，则称K/F是代数扩张。
   • Galois扩张：如果K是F的分裂域，即K是使F上一些给定的多项式完全分裂的最小的域，则称K/F是Galois扩张。

2. Galois群：

   • 定义：域扩张K/F的自同构群，即K上的自同构σ中满足对于任意x∈F都有σ(x)=x的全体，记为Aut(K/F)。若K/F是一个有限代数扩张，则它也被称为域扩张K/F的Galois群，记为Gal(K/F)。
   • 性质：Galois群是一个有限群，且其元素个数与域扩张的次数相等（在Galois扩张的情况下）。

3. Galois基本定理：

   • 定理内容：令F是一个域，而K是域F上的一个Galois扩张，那么域扩张K/F的中间域与其Galois群的所有子群有一一对应关系。对应关系由H↦KH和L↦Gal(K/L)给出。
   • 定理意义：Galois基本定理建立了域扩张的中间域与Galois群的子群之间的对应关系，为理解和研究域扩张提供了有力的工具。

4. 应用：Galois理论在代数方程求解、代数几何、代数数论等领域有着广泛的应用。例如，它可以用来证明五次及五次以上的代数方程没有一般的求根公式；在代数几何中，Galois理论可以用来研究代数曲线的性质和分类；在代数数论中，Galois理论可以用来研究代数数的性质和结构等。

 结语   

越是高级的东西越简单

越是真理越明了

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