论文中涉及的数学定义

1. 应用： 近端算子在解决优化问题中非常有用，特别是在处理非光滑或不可微的凸函数时。通过引入近端算子，可以将复杂的优化问题分解为更简单的步骤，这些步骤涉及模型中的一个或多个函数。

2. 扩展：

   • 近端算子的定义可以扩展到使用不同的距离度量，如Bregman距离。
   • 对于非凸函数，近端算子也可以被推广为多值算子。

3. 计算：

   • 对于某些特定的凸函数，如二次函数、欧几里得范数等，近端算子有明确的计算公式。
   • 存在一些通用的近端算子计算规则，可以帮助计算更复杂函数的近端算子

交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，简称ADMM）是一种用于解决具有等式约束的优化问题的算法。它特别适用于大规模分布式优化问题，能够将大问题分解成小的、可并行处理的子问题，然后协调这些子问题的解以得到原问题的全局解。

ADMM的基本思想

ADMM结合了对偶分解和增广拉格朗日方法的优点，通过分解-协调过程，将大规模问题分解为多个小的局部子问题，这些子问题可以独立求解，然后通过一定的协调机制合并这些解以得到全局问题的解。

ADMM的应用

ADMM在统计学习和机器学习中有广泛的应用，包括但不限于：

• Lasso问题：通过引入拉格朗日乘子，将Lasso问题转化为增广拉格朗日函数，并在每一步迭代中交替更新变量。
• 稀疏逻辑回归
• 基础追踪（Basis Pursuit）
• 协方差选择
• 支持向量机等

ADMM的特点

• 分布式计算：ADMM天然适合分布式计算，因为它可以将问题分解为可以独立求解的子问题。
• 大规模问题：对于具有大量特征或训练样本的问题，ADMM能够有效地处理。
• 非凸问题的扩展：虽然ADMM最初是为凸问题设计的，但它也可以扩展到非凸设置中。