3.常见的线性规划应用实例

线性规划可以解决各种复杂的优化问题，除了基本的生产与资源分配，还包括以下场景

1. 运输问题

某公司需要将产品从两个仓库运送到三个客户。每个仓库有一定的存货量，而每个客户有需求量。公司希望通过最小化运输成本来满足客户需求。

数据

		客户 1	客户 2	客户 3	仓库总量
1	仓库 1	$2$	$4$	$5$	$30$
2	仓库 2	$3$	$1$	$7$	$20$
	客户需求	$20$	$25$	$5$

目标

最小化运输成本，满足客户的需求，同时不超过仓库存货。

步骤

1. 目标函数：最小化运输成本。

2. 约束条件：

   • 每个仓库的发货量不能超过存货量。
   • 每个客户的需求必须被满足。

在 Excel 中，你可以用规划求解设置成本函数并添加约束，确保满足每个客户的需求。

Excel 设置

1. 在单元格中输入每个仓库到每个客户的运输数量。
2. 目标函数为运输成本之和。
3. 使用规划求解工具，设置变量为运输数量，最小化目标函数，添加仓库和需求的约束条件。

2. 投资组合优化

某投资者希望在三种资产中分配资金，以最大化回报率。每种资产的回报率和风险水平已知，同时每种资产的投资比例不能超过一定的阈值。

数据

	资产 1	资产 2	资产 3
回报率	8%	10%	12%
风险水平	5%	9%	11%
最大投资比例	40%	30%	50%

目标

最大化回报率，同时限制每个资产的投资比例。

步骤

1. 目标函数：最大化组合的回报率。

2. 约束条件：

   • 每种资产的投资比例不能超过其最大投资比例。
   • 总投资比例为 100%。

Excel 设置

1. 在 Excel 中设置每种资产的投资比例变量。
2. 总回报率为投资比例乘以回报率的和。
3. 使用规划求解工具，设置变量为各资产的投资比例，最大化总回报率，添加风险和投资比例的约束条件。

3. 饮食规划问题

某人希望通过选择几种不同的食物来满足每日营养需求，既要控制热量摄入，又要最小化饮食成本。每种食物的营养含量和价格已知。

数据

	热量	蛋白质	脂肪	价格
食物 1	200	15	10	$1.5$
食物 2	300	10	15	$2.0$
食物 3	150	20	5	$1.0$

目标

在满足每日营养需求的前提下，最小化每日饮食成本。

步骤

1. 目标函数：最小化饮食成本。
2. 约束条件：
   • 每天的总热量、蛋白质和脂肪摄入量必须达到一定的标准。
   • 每种食物的摄入量必须为正数。

Excel 设置

1. 在 Excel 中输入每种食物的摄入量。
2. 总营养值为摄入量乘以每种食物的营养含量之和。
3. 使用规划求解工具，设置变量为各食物的摄入量，最小化总成本，添加营养需求的约束条件。

4. 生产混合问题

某公司生产三种不同的产品，产品的利润和资源消耗不同。公司希望最大化利润，且生产资源有限。

数据

	产品 1	产品 2	产品 3	资源总量
利润	$50$	$40$	$30$
资源 1 消耗/单位	$2$	$3$	$1$	$200$
资源 2 消耗/单位	$4$	$2$	$3$	$300$

目标

最大化利润，受资源消耗的限制。

步骤

1. 目标函数：最大化利润。
2. 约束条件：
   • 每种资源的总消耗量不能超过其供应量。

Excel 设置

1. 在 Excel 中输入每种产品的生产数量。
2. 总利润为产品数量乘以利润的和。
3. 使用规划求解工具，设置变量为生产数量，最大化利润，添加资源约束条件。

总结

每个实例都有不同的目标函数和约束条件，通过 Excel 的规划求解工具，你可以轻松求解这些线性规划问题。