集合论(ZFC)之实数集(Reals)的构建(Construction)
无理数(Irrationals)的出现
在《有理数》 一文中,已经定义有理数ℚ = (ℤ, ℤ) = ℤ / ℤ,及其算术运算(+, -, ×, /)。其指数运算,定义为 z ^ n = z × ... × z,如 z ^ 2 = z × z。这里,就会出现一个著名的问题,无理数(Irrationals)的出现。
z ^ 2 = 2,
那么,z 是否属于 有理数ℚ。
证:
假设 z 是有理数,那么 z = m / n,且 m, n 不存在公约数 a,使得 m / n = (m / a) / (n / a)。
那么,z ^ 2 = 2 ⇒ (m / n) ^ 2 = 2 ⇒ m ^ 2 / n ^ 2 = 2 ⇒ m ^ 2 = 2 × n ^ 2;
因此,m ^ 2 是偶数,即 m ^ 2 = 2 × k, 其中 k = n ^ 2。
那么,m 也是偶数,因,只有偶数的平方才能是偶数,可通过假设 m 是奇数,可反证 m必须是偶数。
那么,令 m = 2 × k,有,
m ^ 2 = 2 × n ^ 2 ⇒ (2k) ^ 2 = 2 × n ^ 2 ⇒ 4 k^2 = 2 n ^ 2 ⇒ 2k^2 = n^2
即,n ^ 2 = 2 × k ^ 2,
那么,n 也是偶数,即, n = 2 × h;
那么 m,n 存在公约数 2,与上述的假设矛盾,因此,z 不是有理数,使得 z ^ 2 = 2。
也就是说,对于有理数的指数运算的反运算,开n次方根,在有理数中,是不封闭的(not closure)。为了使得开n次方根的运算,在对有理数扩展后的集合中,闭包(Closure),需要将类似√ 2,加入到集合中,形成实数集(Reals, ℝ)。
实数集(Reals)的构建(Construction)(By Dedekind cuts)
还是以 z ^ 2 = 2 为例子,那么,可以通过一个程序性的过程,找到 该值 z。
1. 首先有, 1 < z < 2,因 1 ^ 2 < 2 < 2 ^ 4。
2. 令 a₀ = 1, b₀ = 2, c₀ = (a₀ + b₀) / 2,即 c₀ = 3 / 2, c₀ ^ 2 = 9 / 4 > 2;
3. 令 a₁ = a₀, b₁ = c₀, c₁ = (a₁ + b₁) / 2,即 有 a₀ ≤ a₁ ≤ z ≤ b₁ ≤ b₀,c₁ = (1 + 3/2) / 2。
4. 如此类推,到第 n 步,有 cₙ = (aₙ + bₙ),
当 cₙ^2 > 2,令 aₙ₊₁ = aₙ,bₙ₊₁ = cₙ,cₙ₊₁ = (aₙ₊₁ + bₙ₊₁) ;
当 cₙ^2 = 2,令 aₙ₊₁ = aₙ,bₙ₊₁ = cₙ,此时, bₙ₊₁ 就是要找的值 z;
当 cₙ^2 < 2,令 aₙ₊₁ = cₙ,bₙ₊₁ = bₙ,cₙ₊₁ = (aₙ₊₁ + bₙ₊₁) ;
5. 如此往下,有,a₀ ≤ a₁ ≤ ... ≤ aₙ ≤ ... ≤ z ≤ ... ≤ bₙ ≤ ... ≤ b₁ ≤ b₀ 。
由于 z 不是有理数,因此,z = sup { aₙ: n < ℕ } = √ 2。
上述的过程就是,Dedekind cut 对于 寻找 √ 2的过程。那么,把该过程通用化,以确定实数上的任意数值。
Dedekind cut 把有理数分为两个部分,分别是集合A与集合B,使得集合A中所有的元素都小于集合B中的任一元素,如上述的 a₀ ≤ a₁ ≤ ... ≤ aₙ ≤ ... ≤ z ≤ ... ≤ bₙ ≤ ... ≤ b₁ ≤ b₀,z 为一个 Dedekind cut,且集合A中不存在最大的值,集合B可存在或不存在最小的元素。当集合B存在最小的元素 b,那么该 dedekind cut = b;当集合B不存在最小的元素,那么 该dedekind cut不属于A,也不属于B,且 该dedekind cut = sup A = inf B ,此时,称 该 dedekind cut 为 无理数(Irrationals)。
那么,实数集中的任一元素,对应唯一一个 dedekind cut。
那么,实数集就能被看作,通过 有理数及 dedekind cut来构成。