集合论（ZFC）之实数集（Reals）的构建（Construction）
无理数（Irrationals）的出现
在《有理数》 一文中，已经定义有理数ℚ = (ℤ, ℤ) = ℤ / ℤ，及其算术运算（+, -, ×, /）。其指数运算，定义为 z ^ n = z × ... × z，如 z ^ 2 = z × z。这里，就会出现一个著名的问题，无理数（Irrationals）的出现。
z ^ 2 = 2，
那么，z 是否属于 有理数ℚ。
证：
假设 z 是有理数，那么 z = m / n，且 m, n 不存在公约数 a，使得 m / n = (m / a) / (n / a)。
那么，z ^ 2 = 2 ⇒ (m / n) ^ 2 = 2 ⇒ m ^ 2 / n ^ 2 = 2 ⇒ m ^ 2 = 2 × n ^ 2；
因此，m ^ 2 是偶数，即 m ^ 2 = 2 × k， 其中 k = n ^ 2。
那么，m 也是偶数，因，只有偶数的平方才能是偶数，可通过假设 m 是奇数，可反证 m必须是偶数。
那么，令 m = 2 × k，有，
m ^ 2 = 2 × n ^ 2 ⇒ (2k) ^ 2 = 2 × n ^ 2 ⇒ 4 k^2 = 2 n ^ 2 ⇒ 2k^2 = n^2
即，n ^ 2 = 2 × k ^ 2，
那么，n 也是偶数，即， n = 2 × h；
那么 m，n 存在公约数 2，与上述的假设矛盾，因此，z 不是有理数，使得 z ^ 2 = 2。
也就是说，对于有理数的指数运算的反运算，开n次方根，在有理数中，是不封闭的（not closure）。为了使得开n次方根的运算，在对有理数扩展后的集合中，闭包（Closure），需要将类似√ 2，加入到集合中，形成实数集（Reals， ℝ）。
实数集（Reals）的构建（Construction）（By Dedekind cuts）
还是以 z ^ 2 = 2 为例子，那么，可以通过一个程序性的过程，找到 该值 z。
1. 首先有， 1 < z < 2，因 1 ^ 2 < 2 < 2 ^ 4。
2. 令 a₀ = 1, b₀ = 2, c₀ = (a₀ + b₀) / 2，即 c₀ = 3 / 2， c₀ ^ 2 = 9 / 4 > 2；
3. 令 a₁ = a₀, b₁ = c₀, c₁ = (a₁ + b₁) / 2，即 有 a₀ ≤ a₁ ≤ z ≤ b₁ ≤ b₀，c₁ = (1 + 3/2) / 2。
4. 如此类推，到第 n 步，有 cₙ = (aₙ + bₙ)，
当 cₙ^2 > 2，令 aₙ₊₁ = aₙ，bₙ₊₁ = cₙ，cₙ₊₁ = (aₙ₊₁ + bₙ₊₁) ；
当 cₙ^2 = 2，令 aₙ₊₁ = aₙ，bₙ₊₁ = cₙ，此时, bₙ₊₁ 就是要找的值 z；
当 cₙ^2 < 2，令 aₙ₊₁ = cₙ，bₙ₊₁ = bₙ，cₙ₊₁ = (aₙ₊₁ + bₙ₊₁) ；
5. 如此往下，有，a₀ ≤ a₁ ≤ ... ≤ aₙ ≤ ... ≤ z ≤ ... ≤ bₙ ≤ ... ≤ b₁ ≤ b₀ 。
由于 z 不是有理数，因此，z = sup { aₙ: n < ℕ } = √ 2。
上述的过程就是，Dedekind cut 对于 寻找 √ 2的过程。那么，把该过程通用化，以确定实数上的任意数值。
Dedekind cut 把有理数分为两个部分，分别是集合A与集合B，使得集合A中所有的元素都小于集合B中的任一元素，如上述的 a₀ ≤ a₁ ≤ ... ≤ aₙ ≤ ... ≤ z ≤ ... ≤ bₙ ≤ ... ≤ b₁ ≤ b₀，z 为一个 Dedekind cut，且集合A中不存在最大的值，集合B可存在或不存在最小的元素。当集合B存在最小的元素 b，那么该 dedekind cut = b；当集合B不存在最小的元素，那么 该dedekind cut不属于A，也不属于B，且 该dedekind cut = sup A = inf B ，此时，称 该 dedekind cut 为 无理数（Irrationals）。
那么，实数集中的任一元素，对应唯一一个 dedekind cut。
那么，实数集就能被看作，通过 有理数及 dedekind cut来构成。