【高等数学学习记录】无穷小的比较

1 知识点

定义：
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=0$，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta =o(\alpha )$
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\infty$，就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小。
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，$k>0$，就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。
如果 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1$，就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\alpha \sim \beta$。

定理1
$\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小的充分必要条件为 $\beta =\alpha +o(\alpha )$。

定理2
设 $\alpha \sim {\alpha }^{\prime }$，$\beta \sim {\beta }^{\prime }$，且 $\lim \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}$ 存在，则 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{{\beta }^{\prime }}{{\alpha }^{\prime }}$。

常用等价无穷小：
(1) $\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$
(2) $sinx\sim x$
(3) $tanx\sim x$
(4) $arcsinx\sim x$
(5) $1-cosx\sim \frac{1}{x^2}$

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2 练习题

2.1 当 $x\to 0$ 时，$2x-x^2$ 与 $x^2-x^3$ 相比，哪一个是高阶无穷小？

• 解：
  ${\lim }_{x\to 0}\frac{2x-x^2}{x^2-x^3}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{2-x}{x-x^2}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{2}{x}-1}{1-x}$
  $=\infty$
  $\therefore {\lim }_{x\to 0}\frac{x^2-x^3}{2x-x^2}=0$
  $\therefore x^2-x^3$ 是比 $2x-x^2$ 的高阶无穷小。

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2.2 当 $x\to 1$ 时，无穷小 $1-x$ 和 （1）$1-x^3$，(2)$\frac{1}{2}(1-x^2)$ 是否同阶？是否等价？

• 解：
• (1)
  ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-x}{1-x^3}$
  $={\lim }_{x\to 1}\frac{1-x}{(1-x)(1+x+x^2)}$
  $={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{x^2+x+1}$
  $=\frac{1}{3}$
  $\therefore 1-x$ 与 $1-x^3$ 同阶，但不等价。
  
• (2)
  ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-x}{\frac{1}{2}(1-x^2)}$
  $={\lim }_{x\to 1}\frac{2}{1+x}$
  $=1$
  $\therefore 1-x$ 与 $\frac{1}{2}(1-x^2)$ 等价。

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2.3 证明：当 $x\to 0$ 时，有(1)$arctanx\sim x$，(2)$secx-1\sim \frac{x^2}{2}$

• 证明：

• (1)
  令 $t=arctanx$
  $\because {\lim }_{x\to 0}arctanx={\lim }_{x\to 0}x=0$
  $\therefore {\lim }_{x\to 0}\frac{arctanx}{x}$ 可以转换为：
  ${\lim }_{t\to 0}\frac{t}{tant}$
  $={\lim }_{t\to 0}\frac{tcost}{sint}$
  $={\lim }_{t\to 0}cost$
  $=1$
  $\therefore arctanx$ 与 $x$ 是等价无穷小。
  

• (2)
  $\because {\lim }_{x\to 0}\frac{secx-1}{\frac{x^2}{2}}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{2(1-cosx)}{x^{2}cosx}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{2(1-1+2si{n}^2\frac{x}{2})}{x^{2}cosx}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{si{n}^2\frac{x}{2}}{(\frac{x}{2}{)}^{2}cosx}$
  $=1$
  $\therefore secx-1\sim \frac{x^2}{2}$

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2.4 利用等价无穷小的性质，求下列极限：
(1) ${\lim }_{x\to 0}\frac{tan3x}{2x}$
(2) ${\lim }_{x\to 0}\frac{sin(x^n)}{(sinx{)}^m}$（$n$、$m$ 为正整数）
(3) ${\lim }_{x\to 0}\frac{tanx-sinx}{si{n}^{3}x}$
(4) ${\lim }_{x\to 0}\frac{sinx-tanx}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+sinx}-1)}$

• 解：
• (1)
  $\because tan3x\sim 3x(x\to 0)$
  $\therefore$ 原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$
• (2)
  $\because sin{x}^n\sim x^n(x\to 0),sinx\sim x(x\to 0)$
  $\therefore$ 原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{x^n}{x^m}$
  $=\{\begin{array}{ll}0,& n>m\\ 1,& n=m\\ \infty ,& n<m\end{array}$
• (3)
  原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{1-cosx}{cosx\cdot si{n}^{2}x}$
  $={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{cosx}\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{2si{n}^2\frac{x}{2}}{si{n}^{2}x}$
  $=2\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{si{n}^2\frac{x}{2}}{si{n}^{2}x}$
  $=2\cdot {\lim }_{x\to 0}\frac{(\frac{x}{2}{)}^2}{x^2}$
  $=\frac{1}{2}$
• (4)
  原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{sinx(cosx-1)}{cosx(\sqrt[3]{1+x^2})(\sqrt{1+sinx}-1)}$
  $\because cosx-1\sim -\frac{1}{2}{x}^2,tanx\sim x,\sqrt[3]{1+x^2}-1\sim \frac{1}{3}{x}^2,\sqrt{1+sinx}-1\sim \frac{1}{2}x$
  $\therefore$ 原式 $={\lim }_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}{x}^2\cdot x}{\frac{1}{3}{x}^2\cdot \frac{1}{2}x}=-3$

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2.5 证明无穷小的等价关系具有下列性质：
(1) $\alpha \sim \alpha$（自反性）
(2) 若 $\alpha \sim \beta$，则 $\beta \sim \alpha$ （对称性）
(3) 若 $\alpha \sim \beta$，$\beta \sim \gamma$，则 $\alpha \sim \gamma$ （传递性）

• 证明：

• (1)
  $\because \lim \frac{\alpha }{\alpha }=1$
  $\therefore \alpha \sim \alpha$

• (2)
  $\because \alpha \sim \beta$
  $\therefore \lim \frac{\alpha }{\beta }=1$
  $\therefore \lim \frac{\beta }{\alpha }=\lim \frac{1}{\frac{\alpha }{\beta }}=1$
  $\therefore \beta \sim \alpha$

• (3)
  $\because \alpha \sim \beta$
  $\therefore \lim \frac{\alpha }{\beta }=1$
  $\because \beta \sim \gamma$
  $\therefore \lim \frac{\beta }{\gamma }=1$
  $\therefore \lim \frac{\alpha }{\gamma }=\lim \frac{\alpha }{\beta }\cdot \frac{\beta }{\gamma }=1$
  $\therefore \alpha \sim \gamma$

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• 学习资料
  1.《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编