低秩矩阵恢复

低秩矩阵恢复（Low-Rank Matrix Recovery，LRMR）基本原理是利用图像数据的低秩特性来恢复被噪声或异常破坏的图像。

在LRMR中，一幅清晰的自然图像的数据矩阵往往是低秩或者近似低秩的，这意味着图像中的大部分信息可以通过相对较少的基向量来表示。然而，在实际的成像过程中，图像往往会受到噪声的干扰，这些噪声通常是随机的、不连续的，并且在图像中表现为离群点。由于噪声的这种特性，它们在图像中的影响是稀疏的，即大部分像素点是正常的，只有少数像素点受到噪声的影响。

LRMR的目标是将观测到的矩阵（如图像）分解为两个矩阵的和：一个低秩矩阵和一个稀疏矩阵。低秩矩阵代表了图像的主要结构和信息，而稀疏矩阵包含了图像中的异常值或噪声。这种分解可以通过优化以下目标函数来实现：

LRMR的求解是一个非凸优化问题（有些优化问题的形式本身就暗示了非凸性，例如包含绝对值、平方根或其他非凸函数的问题），通常采用交替方向乘子法（ADMM）、迭代阈值法、对偶法、拉格朗日乘子法等迭代算法进行求解。这些算法通过不断迭代更新 LL 和 SS 的值，直至满足收敛条件。

鲁棒主成分分析（RPCA）与低秩矩阵恢复（LRMR）之间存在着紧密的关系。RPCA可以被视为LRMR问题的一个特例，它们都是处理数据中的噪声和异常值的有力工具。