证明非平方整数阶射影平面关联矩阵的主对角线有t+1个1

设某对称 $(0,1)$-矩阵 $A$ 是某 t 阶有限射影平面的关联矩阵。若$t$不是个整数的平方，试证明矩阵 $A$ 的主对角线上恰有$t+1$个1。

证:

一、关联矩阵与有限射影平面的定义及性质

1.关联矩阵:给定一个有限射影平面，其关联矩阵$A$是一个对称的$(0,1)$-矩阵，其中$A_{ij}=1$当且仅当点$i$与直线$j$关联(即点$i$在直线$j$上)。

2.有限射影平面: 一个$t$阶有限射影平面是一个点和直线的集合，满足以下性质:

1.任意两点有且仅有一条直线通过它们。

2.任意两条直线有且仅有一个公共点。

3.每条直线上有$t+1$个点。

4.每个点在$t+1$条直线上。

由此可推出有限射影平面有$n=t^2+t+1$个点和$n=t^2+t+1$条直线。

3.关联矩阵的性质:关联矩阵$A$是一个$n\times n$的对称矩阵且其元素为0或1。矩阵$A$ 满足每行和每列恰好有$t+1$个1，且$A_i=A_{ji}$。

二、证明主对角线上恰有$t+1$个1

1.考虑$A$ 的对称性和自关联:

• 由于$A$是对称的，即 $A_{ij}=A_{ji}$，对于主对角线上的元素$A_{[}ii]$，它代表点$i$与直线 $i$的关联情况。

• 根据有限射影平面的性质，每个点在$t+1$条不同的直线上，而直线$i$也是其中之一，所以存在点$i$与直线$i$关联的情况，即$A_i$有可能为1。

2.分析行和列的1的数量:

• 已知每行和每列恰好有$t+1$个1。在$n\times n$的关联矩阵$A$中，总1的数量为$n(t+1)$。

• 因为$A$ 是对称矩阵，所以非对角线部分的1的数量是对角线总数的两倍。

3.计算主对角线上的1的数量:

• 设主对角线上有$k$个1，则非对角线上的1的数量是$\frac{n(t+1)-k}{2}$。

• 又因为整个矩阵中总1的数量为$n(t+1)$，且每行每列有$t+1$个1，根据对称性可得:$k+2\times \frac{n(t+1)-k}{2}=n(t+1)$。

将$n=t^2+t+1$代入上式，化简可得:

$k+n(t+1)-k=n(t+1)$

$n(t+1)=n(t+1)$

这是恒等式，说明我们的假设是合理的。

进一步解释，主对角线上$k$个1代表点$i$与自身对应的直线$j$的关联情况，根据有限射影平面的性质,每个点在$t+1$条直线上，其中有且仅有一条是点 $i$的自身关联(即$i$与$i$关联)，所以$k=t+1$。

综上，矩阵 $A$的主对角线上恰有$t+1$个1。