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分治算法(2)_快速排序_排序数组

news 2025/4/21 11:33:25

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分治算法(2)_快速排序_排序数组

收录于专栏【经典算法练习】
本专栏旨在分享学习算法的一点学习笔记，欢迎大家在评论区交流讨论💌

温馨提示:

1. 快速排序简介:

原理:

时空复杂度分析:

优缺点:

2. 题目链接:

3. 题目描述:

4. 解法(快速排序)

快速排序算法思路:

快速排序的缺点;

1. 数组有序或重复效率低

2. 对于较小规模的数据，快速排序可能不如插入排序高效

快速排序的优化:

1. 随机取key

2. 数组分三块

代码展示:

结果分析:

温馨提示:

这里并不会对快速排序进行详细讲解,只会对它的思想进行解释,如果大家想看详细讲解版的,可以去下面博客查看:

排序算法(4)之快速排序(1)-CSDN博客

1. 快速排序简介:

原理:

选择基准：从待排序的数组中选择一个元素作为“基准”（Pivot），通常可以选择第一个元素、最后一个元素或随机选择。

分区：将数组中的其他元素根据基准值进行分区。所有小于基准值的元素移动到基准值的左侧，所有大于基准值的元素移动到右侧。这样，基准值的最终位置就确定了。

递归排序：对基准值左侧和右侧的两个子数组递归进行快速排序。

合并结果：由于子数组已经排序完毕，因此只需要将它们与基准值组合在一起即可。

时空复杂度分析:

时间复杂度
平均时间复杂度：O(n log n)
最坏时间复杂度：O(n²)，通常发生在选择的基准值极端不平衡时（例如，已经排好序的数组）。
最佳时间复杂度：O(n log n)
空间复杂度
快速排序的空间复杂度为O(log n)，因为递归调用的深度为O(log n)。它是一种原地排序算法，不需要额外的存储空间。

优缺点:

优点：

平均情况下性能优异。
原地排序，节省空间。
可以选择不同的基准选择策略以优化性能。
缺点：

最坏情况下的时间复杂度较高。
对于较小规模的数据，快速排序可能不如插入排序高效。

2. 题目链接:

OJ链接 : 排序数组

3. 题目描述:

给你一个整数数组 nums，请你将该数组升序排列。

你必须在 不使用任何内置函数 的情况下解决问题，时间复杂度为 O(nlog(n))，并且空间复杂度尽可能小。

示例 1：

输入：nums = [5,2,3,1]
输出：[1,2,3,5]

示例 2：

输入：nums = [5,1,1,2,0,0]
输出：[0,0,1,1,2,5]

提示：

1 <= nums.length <= 5 * 104
-5 * 104 <= nums[i] <= 5 * 104

4. 解法(快速排序)

快速排序算法思路:

1. 选择基准值： 通常选择数组的第一个元素作为基准值，也可以随机选择数组中的某个元素。

2. 划分过程： 使用两个指针，一个从左边开始（左指针），一个从右边开始（右指针）。它们分别向中间移动，直到找到需要交换的元素。

3. 具体步骤：

i. 左指针移动： 从左往右找到第一个大于或等于基准值的元素。
ii. 右指针移动： 从右往左找到第一个小于或等于基准值的元素。
iii. 交换元素： 如果左指针所指元素大于基准值，并且右指针所指元素小于基准值，则交换这两个元素。
iv. 继续移动指针： 继续移动左右指针，直到它们相遇。
4. 交换基准值： 最后将基准值与右指针所指的元素进行交换，使得基准值左侧的元素都小于或等于基准值，右侧的元素都大于或等于基准值。

// 假设按照升序对array数组中[left, right)区间中的元素进行排序
void QuickSort(int array[], int left, int right)
{if (right - left <= 1)return;// 按照基准值对array数组的 [left, right)区间中的元素进行划分int div = partion(array, left, right);
}
// 划分成功后以div为边界形成了左右两部分 [left, div) 和 [div+1, right)
// 递归排[left, div)
QuickSort(array, left, div);
// 递归排[div+1, right)
QuickSort(array, div + 1, right);

class Solution {
public:vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {qsort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums;}void qsort(vector<int>& arr, int left, int right){if(left >= right) return;int key = left;int begin = left;int end = right;while(begin < end){while(begin < end && arr[end] >= arr[key]) end--;while(begin < end && arr[begin] <= arr[key]) begin++;swap(arr[begin], arr[end]);}swap(arr[key], arr[begin]);key = begin;//[left, key - 1][key][key + 1, right]qsort(arr, left, key - 1), qsort(arr, key + 1, right);}
};

快速排序的缺点;

1. 数组有序或重复效率低

当数组有序时,如果key还是取数组中第一个值得话,快排得递归深度就退化为O(N),整体的时间复杂度就退化为O(N^2)

2. 对于较小规模的数据，快速排序可能不如插入排序高效

对于较小的数据集，快速排序的递归深度可能较高，每次递归调用都会消耗额外的栈空间，这在小规模数据上显得不够高效。

快速排序的优化:

1. 随机取key

因为key取数组第一个数或者最后都会在数组有序中效率退化,所以我们可以直接取随机值,这样我们的递归深度是接近O(logN)--详细证明大家可以去看算法导论

class Solution {
public:vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {qsort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums;}void qsort(vector<int>& arr, int left, int right){if(left >= right) return;int key = left;int begin = left;int end = right;while(begin < end){while(begin < end && arr[end] >= arr[key]) end--;while(begin < end && arr[begin] <= arr[key]) begin++;swap(arr[begin], arr[end]);}swap(arr[key], arr[begin]);key = begin;//[left, key - 1][key][key + 1, right]qsort(arr, left, key - 1), qsort(arr, key + 1, right);}
};

可以看到这一次通过了19个例子,卡在一个超长的连续数组, 因为这样无论怎么随机,取到的数都相同,递归深度退化为O(N),需要我们使用数组分成三块来解决!

2. 数组分三块

我们直接将数组分成三块 : 小于key, 等于key, 大于key.这样我们再遇到上次的超长重复数组,我们可以直接以O(1)的时间复杂度解决它

算法思路:

1. 定义递归出口

2. 利用随机选择基准函数生成一个基准元素

3. 将数组分成三个区域

4. 递归处理左边区域和右边区域

代码展示:

class Solution {
public:vector<int> sortArray(vector<int>& nums) {srand(time(NULL));qsort(nums, 0, nums.size() - 1);return nums;}void qsort(vector<int>& nums, int l, int r){if(l >= r) return;int key = getRandom(nums,l,r);int i = l, left = l - 1, right = r + 1;while(i < right){if(nums[i] < key) swap(nums[++left], nums[i++]);else if(nums[i] == key) i++;else swap(nums[--right], nums[i]);}qsort(nums, l, left), qsort(nums, right, r);}int getRandom(vector<int>& nums, int left, int right){int r = rand();return nums[left + r % (right - left + 1)];}
};