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2009考研数学真题解析-数二：

news 2024/9/23 3:11:08

第一题：

解析：先找间断点：分母不能等于0，分母是sinΠx，

因此不难看出间断点是x=0，+-1，+-2，+-3。。。。。

接着一个一个来算这些点是什么间断点。

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-x^{2}}{\pi }=\frac{1 }{\pi }$

$\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-3x^{2}}{\pi\cos \pi x }=\frac{2}{\pi }$

$\lim_{x\rightarrow -1}\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}=\lim_{x\rightarrow -1}\frac{1-3x^{2}}{\pi\cos \pi x }=\frac{2}{\pi }$

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x-x^{3}}{\sin \pi x}=\infty$ ，从x趋于2开始，分子都是非0常数，分母趋于0，总体极限趋于无穷。

第二题：

解析：

f(x)和g(x)是等价无穷小，g(x)等价于-bx^3.

由泰勒公式: $x - sin x = x -\frac{1}{6}x^{3}$

一眼就能看出，b=-1/6，a=1；

选A

第三题：

在（0,0）是0，说明是极值点。

二元微分判断极值：结果大于0，是极小值点。

极大值点极小值点判断公式： $AC-B^{2}$

第四题：

解析：这道题的关键是画对积分区域。

这里要选择横着的参考线。

如果是竖着的参考线，要划分区域，所以不可取。

第五题：

解析：

曲线弧和曲率圆弧在同一点有相同的一阶和二阶导数。

由题可知：画出曲率圆和曲率弧，则他们的二阶导数相同，因为是凸的所以f''(x)<0

再算一下一阶导数：把y看作是x的一次函数，求导

，f'(1)=-1.

那在这一点的弧的一阶导数也是-1，又因为f''(x)<0,所以f'(x)恒减少，恒小于0；

因为f''(x)恒小于0，所以不可能有极值点。

再看有没有零点。有题可知f(1)=1;f'(x)<0;是减少的。

因此我们只需要求出f(2)就好了，如果f(2)<0,则存在0点。

知道f'(x)<0,和f(1)=1

使用拉格朗日中值定理：

f(2)-f(1)=f'( $\xi$ )(2-1)

f(2)=f(1)+f'( $\xi$ )

f'( $\xi$ )<f'(1)=-1

f(2)=f(1)+f'( $\xi$ )<f(1)-1=0

f(2)<0，显然有零点。

第六题:

变现积分的连续性和可导性是考试的重点：

1.连续性：

变现积分函数存在即连续的，不可能有间断点；

2.可导性：

1. $x=x_{0}$ 为f(x)连续点， $F(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导，且 $F'(x)=f'(x)$ ，

2. $x=x_{0}$ 为f(x)可去间断点， $F(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导，但 $F'(x)!=f'(x)$

3. $x=x_{0}$ 为f(x)跳跃间断点， $F(x)$ 在 $x=x_{0}$ 不可导,不可导说明此点是尖点。

$\int_{0}^{0}f(t)dt$ 一定是0，图像一定经过原点，排除C

变现积分函数存在即连续的，不可能有间断点，排除B

原来处于跳跃间断点的点不可导，图像是尖的，排除A

第七题：

解析：

第八题：

解析：

第九题：

解析：

求切线方程先求出该切线的斜率,参数方程求斜率： $\frac{dx/dt}{dy/dt}$

y-0=2(x-0)

y=2x

第十题：

解析：

被积函数一看就是偶函数，因此可以把它转化为2倍的大于0的部分即：

原式= $\int_{0 }^{+\infty}e^{kx}dx=\frac{1}{k}e^{kx}|(+\infty,0)=\frac{1}{2}$

这个k不等于0，且k也不能大于0，因为如果大于0的话, $e^{+\infty}$ 趋于无穷。所以k一定是小于0的； $\frac{1}{k}[0-1]=-\frac{1}{k}=\frac{1}{2}$

$k=-2$

第十一题：

解析：

利用下列公式求解：

$\int e^{ax}sinbxdx= \frac{\begin{vmatrix} (e^{ax}) '& (\sin bx) '\\ e^{ax} & \sin bx \end{vmatrix}}{a^{2}+b^{2}}+C,(a!=0,b!=0)$

解题步骤：