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第314题｜参考！如何做到【一题多解】｜武忠祥老师每日一题

news 2024/11/10 18:40:56

解析：
画出图像：

观察选项可知：选项A和选项B是相反选项，因此答案只能在AB当中。

因此本题我们只需要算出a\int_{0}^{b}f(x)dx和b\int_{0}^{a}f(x)dx的大小即可。

方法一：直接相减然后判断结果的正负。

分析题目给的条件：f(x)单调减少，可以推出f(a)<f(b)

a\int_{0}^{b}f(x)dx-b\int_{0}^{a}f(x)dx,0-b的积分区域可以看作是0-a加上a-b的积分区域。

a\int_{0}^{b}f(x)dx=a[\int_{0}^{a}f(x)dx+\int_{a}^{b}f(x)dx]

a\int_{0}^{b}f(x)dx-b\int_{0}^{a}f(x)dx=(a-b)\int_{0}^{a}f(x)dx+a\int_{a}^{b}f(x)dx

要用到f(x)单调减少这个条件，就要去掉积分号。

去掉积分号可以使用积分中值定理：

在0-a和a-b中间分别取c1和c2这两点，使用积分中值定理。

(a-b)\int_{0}^{a}f(x)dx+a\int_{a}^{b}f(x)dx=(a-b)af(c1)+af(c2)(b-a)=a(b-a)[f(c2)-f(c1)]

那么，显然a(b-a)[f(c2)-f(c1)]<0

a\int_{0}^{b}f(x)dx-b\int_{0}^{a}f(x)dx<0

选A


http://www.mrgr.cn/news/30940.html

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