遗传算法（GA算法）求解实例---旅行商问题 (TSP)

一、采用GA求解 (TSP)

求解代码在文中，后续会出其他算法求解TSP问题，你们参加数学建模竞赛只需要会改代码即可。

我知道大家对原理性的东西不感兴趣，我把原理性的东西放在后面，大家如果需要写数模论文可以拿去，但是记得需要改一改，要不然查重过不去。

二、 旅行商问题

2.1 旅行商问题简介

旅行商问题（Travelling Salesman Problem, TSP） 是一个经典的组合优化问题，问题描述如下：

给定一组城市以及每对城市之间的距离，一个旅行商需要从某个城市出发，经过每个城市恰好一次，并最终回到起点城市。目标是找到一条总距离最短的旅行路线。

2.2 使用遗传算法解决 TSP

遗传算法是解决 TSP 问题的有效方法之一。它通过模拟自然进化过程（如选择、交叉、变异等）来逐步优化解，寻找最短路径。

2.2.1 遗传算法求解 TSP 的基本步骤

1. 定义编码方式：

   • 一个个体（即解）表示为一个城市序列。例如，假设有 5 个城市，用数字 0, 1, 2, 3, 4 表示，一个可能的解为 [0, 2, 4, 3, 1]，表示从城市 0 出发，依次经过城市 2, 4, 3, 1，最后回到城市 0。

2. 定义适应度函数：

   • 适应度函数用于评估每个个体的优劣。在 TSP 中，适应度通常定义为旅行总距离的倒数（因为我们希望最小化距离）。例如，个体的路径为 [0, 2, 4, 3, 1]，则其适应度为该路径总距离的倒数。

3. 初始化种群：

   • 随机生成一组解（路径），构成初始种群。种群中的每个个体表示一个可能的路径。

4. 选择操作：

   • 根据个体的适应度值，以一定的概率选择个体作为父代，用于生成下一代种群。适应度高的个体有更大的概率被选择。

5. 交叉操作：

   • 从父代中选取两个个体进行交叉操作，生成新的子代。例如，采用部分映射交叉（Partially Mapped Crossover, PMX）。

6. 变异操作：

   • 对新生成的个体（子代）进行随机变异，以增加解的多样性。例如，随机交换两个城市的位置。

7. 生成新种群：

   • 用子代替换父代，形成新的种群。

8. 迭代和终止：

   • 重复上述过程，直到达到预定的迭代次数或找到一个满意的解。

2.3 实际例子：求解 6 个城市的 TSP

假设有 6 个城市，其坐标如下：

城市	X 坐标	Y 坐标
0	10	20
1	30	40
2	20	10
3	40	30
4	10	10
5	50	20

目标是找到一个经过所有城市且总距离最短的路径。

1. 初始化种群

初始种群由一组随机生成的城市序列组成，例如：

• 个体 1: [0, 2, 4, 1, 5, 3]
• 个体 2: [1, 0, 3, 5, 4, 2]
• 个体 3: [3, 1, 0, 2, 4, 5]
• …（假设种群大小为 100）

2. 计算适应度

对每个个体计算其路径总距离，例如：

• 个体 1 的路径 [0, 2, 4, 1, 5, 3]：
  • 路径总距离 = 距离(0, 2) + 距离(2, 4) + 距离(4, 1) + 距离(1, 5) + 距离(5, 3) + 距离(3, 0)
  • 假设计算得到路径总距离为 100，则适应度为 1/100 = 0.01。

3. 选择操作

采用轮盘赌选择法：根据适应度值的大小，随机选择适应度高的个体作为父代。

4. 交叉操作

采用部分映射交叉（PMX）：

• 父代 1: [0, 2, 4, 1, 5, 3]
• 父代 2: [1, 0, 3, 5, 4, 2]

选取交叉点（例如 2 和 4），交换基因片段后得到子代：

• 子代 1: [0, 2, 3, 5, 4, 3]
• 子代 2: [1, 0, 4, 1, 5, 2]

再根据父代保持路径唯一性调整得到合法子代：

• 调整后子代 1: [0, 2, 3, 5, 1, 4]
• 调整后子代 2: [1, 0, 3, 2, 5, 4]

5. 变异操作

对子代进行变异，例如随机交换子代 1 的城市位置 [5, 1]：

• 变异后子代 1: [0, 2, 3, 1, 5, 4]

6. 生成新种群

用子代替换种群中的劣质个体，形成新的种群。

7. 迭代与终止

重复上述步骤，迭代进行进化，直到达到预定的迭代次数或找到最短路径。

三、 采用GA求解TSP

3.1 求解该问题的代码

import numpy as np
import random# 定义城市坐标
cities = np.array([[10, 20],[30, 40],[20, 10],[40, 30],[10, 10],[50, 20]
])# 计算两城市之间的欧几里得距离
def calculate_distance(city1, city2):return np.sqrt(np.sum((city1 - city2) ** 2))# 计算总旅行距离
def total_distance(path):distance = 0for i in range(len(path) - 1):distance += calculate_distance(cities[path[i]], cities[path[i + 1]])distance += calculate_distance(cities[path[-1]], cities[path[0]])  # 回到起点return distance# 初始化种群
def initialize_population(pop_size, num_cities):population = []for _ in range(pop_size):individual = list(np.random.permutation(num_cities))population.append(individual)return population# 计算种群的适应度
def fitness(population):fitness_scores = []for individual in population:fitness_scores.append(1 / total_distance(individual))return fitness_scores# 选择操作：轮盘赌选择法
def selection(population, fitness_scores):selected = []total_fit = sum(fitness_scores)prob = [f / total_fit for f in fitness_scores]for _ in range(len(population)):selected.append(population[np.random.choice(len(population), p=prob)])return selected# 交叉操作：部分映射交叉（PMX）
def crossover(parent1, parent2):size = len(parent1)child = [-1] * size# 随机选择交叉点start, end = sorted(random.sample(range(size), 2))# 将父代1的片段复制到子代中child[start:end] = parent1[start:end]# 填充子代其余部分for i in range(size):if parent2[i] not in child:for j in range(size):if child[j] == -1:child[j] = parent2[i]break# 修复可能的重复问题for i in range(size):if child[i] == -1:for city in parent2:if city not in child:child[i] = citybreakreturn child# 变异操作：交换变异
def mutation(individual, mutation_rate=0.01):for i in range(len(individual)):if random.random() < mutation_rate:j = random.randint(0, len(individual) - 1)# 交换两个城市的位置individual[i], individual[j] = individual[j], individual[i]return individual# 遗传算法主函数
def genetic_algorithm(cities, pop_size=100, generations=500, mutation_rate=0.01):num_cities = len(cities)population = initialize_population(pop_size, num_cities)for generation in range(generations):fitness_scores = fitness(population)print(f"Generation {generation} Best distance: {1 / max(fitness_scores):.2f}")# 选择selected = selection(population, fitness_scores)# 交叉next_generation = []for i in range(0, len(selected), 2):parent1 = selected[i]parent2 = selected[(i + 1) % len(selected)]child1 = crossover(parent1, parent2)child2 = crossover(parent2, parent1)next_generation.extend([child1, child2])# 变异population = [mutation(ind, mutation_rate) for ind in next_generation]# 最佳路径best_individual = min(population, key=lambda ind: total_distance(ind))return best_individual, total_distance(best_individual)# 运行遗传算法
best_path, best_distance = genetic_algorithm(cities)
print("Best path:", best_path)
print("Best distance:", best_distance)

3.2 代码运行过程截屏

3.3 代码运行结果截屏（后续和其他算法进行对比）

四、 如何修改代码？

这一部分是重中之重，大家参加数学建模肯定是想跑出自己的结果，所以大家只需要把自己遇到的数学问题，抽象成TSP问题，然后修改代码的城市坐标，然后运行即可。

# 定义城市坐标
cities = np.array([[10, 20],[30, 40],[20, 10],[40, 30],[10, 10],[50, 20]
])

4.1 减少城市坐标，如下：

# 定义城市坐标
cities = np.array([[10, 20],[30, 40],[20, 10],[40, 30]
])

4.2 增加城市坐标，如下：

# 定义城市坐标
cities = np.array([[10, 20],[30, 40],[20, 10],[40, 30],[30, 40],[20, 10],[10, 10],[50, 20]
])

五、 遗传算法 (Genetic Algorithm, GA) 原理

5.1 GA算法定义

遗传算法 (Genetic Algorithm, GA) 是一种基于自然选择和遗传机制的随机搜索和优化方法，由 John Holland 在 20 世纪 70 年代提出。遗传算法通过模拟自然界生物的进化过程（如遗传、选择、交叉、变异等）来搜索解空间，从而找到问题的最优解。它常用于复杂的优化问题和求解计算难题。

5.2 GA算法的基本思想

遗传算法的核心思想是模拟达尔文进化论的“自然选择，适者生存”原理。在遗传算法中，候选解被表示为“个体”，多个个体组成一个“种群”。通过对种群中的个体进行复制、交叉、变异等操作，算法在搜索空间内不断迭代，逐步进化出接近最优解的结果。

遗传算法主要包括以下几个步骤：

1. 初始化种群：随机生成一定数量的个体作为初始种群，每个个体表示一个可能的解。
2. 适应度评估：根据适应度函数（目标函数）评估每个个体的优劣，适应度值越高表示个体越优。
3. 选择操作：根据个体的适应度值，以一定的概率选择个体作为父代，以生成下一代种群。适应度高的个体有更大的概率被选择。
4. 交叉操作：通过交换两个个体（父母）的部分基因（染色体片段），生成新的个体（子代）。这模拟了生物的繁殖过程。
5. 变异操作：随机改变个体的部分基因，以增加种群的多样性，避免陷入局部最优解。
6. 生成新种群：用选择、交叉和变异操作产生的新个体替代旧种群，并重复步骤 2 到 5，直到满足终止条件（如达到最大迭代次数或找到最优解）。

5.3 GA算法的工作流程

遗传算法的典型工作流程如下：

1. 初始化种群：随机生成种群内的所有个体。
2. 迭代进化：
   • 计算适应度：评估种群中每个个体的适应度。
   • 选择：根据适应度选择部分个体作为父代。
   • 交叉：对子代进行交叉操作，生成新个体。
   • 变异：对部分新个体进行变异操作。
   • 更新种群：用新个体替代旧种群。
3. 终止条件：如果满足终止条件（如达到最大迭代次数或找到满意解），输出结果；否则，返回第 2 步继续迭代。

5.4 GA算法的操作

1. 初始化种群

种群中的每个个体通常用一个二进制串、实数串或其他编码方式表示。初始种群的大小通常根据问题的规模和复杂度来决定。

2. 适应度函数

适应度函数（Fitness Function）用于评估每个个体的质量。适应度函数的设计应能够正确反映目标问题的优化目标，适应度值越高表示个体越优。

3. 选择操作

常见的选择方法有：

• 轮盘赌选择法（Roulette Wheel Selection）：根据个体的适应度值，以概率比例进行选择，适应度高的个体被选择的概率更大。
• 锦标赛选择法（Tournament Selection）：随机挑选若干个体进行竞赛，选择其中适应度最高的个体。
• 排序选择法（Rank Selection）：将个体按适应度排序，赋予选择概率。

4. 交叉操作

交叉（Crossover）是模拟生物遗传过程中的基因重组操作。常见的交叉方法有：

• 单点交叉（Single-Point Crossover）：在染色体中随机选择一个位置，交换两个父代的基因片段。
• 多点交叉（Multi-Point Crossover）：在染色体中选择多个位置进行基因片段的交换。
• 均匀交叉（Uniform Crossover）：以固定的概率在每个位置选择父代的基因进行交换。

5. 变异操作

变异（Mutation）是对个体基因的随机改变，以增加种群的多样性。常见的变异方法有：

• 位变异（Bit Mutation）：随机改变个体二进制串的某个位（0 变 1 或 1 变 0）。
• 实数变异（Real-Value Mutation）：对实数编码的基因加入随机扰动。

5.5 GA算法的优缺点

5.5.1 优点

• 全局搜索能力强：遗传算法通过并行搜索和种群进化，能有效避免局部最优解，具有较强的全局搜索能力。
• 不依赖梯度信息：遗传算法不需要目标函数的导数或梯度信息，适用于不可微分、非线性、多峰值等复杂优化问题。
• 适应性强：能够处理不同类型的优化问题（如离散和连续优化问题）。

5.5.2 缺点

• 计算成本高：遗传算法需要大量计算资源，尤其是在种群规模大和问题规模大时，计算效率较低。
• 收敛速度慢：相对于一些局部搜索方法，遗传算法的收敛速度较慢。
• 参数敏感：算法性能对参数（如种群规模、交叉率、变异率等）比较敏感，需要进行调优。

5.6 GA算法的应用场景

• 函数优化：在非线性、多峰值函数优化问题中，寻找全局最优解。
• 组合优化：如旅行商问题（TSP）、背包问题、调度问题等。
• 机器学习：用于特征选择、超参数优化、神经网络结构优化等。
• 工程优化：如结构优化、控制参数调优、交通流量优化等。
• 生物信息学：如 DNA 序列比对、基因表达数据分析等。