深入理解PCA降维：原理、实现与应用

1. 引言

       在机器学习与数据科学领域，我们经常会遇到高维数据带来的"维度灾难"问题。随着特征数量的增加，数据稀疏性、计算复杂度等问题会显著加剧。主成分分析(PCA, Principal Component Analysis)作为一种经典的降维技术，能够有效解决这一问题。本文将全面介绍PCA的原理、数学基础、实现方法以及实际应用。

 2. 概念

2.1 PCA的定义

       PCA是一种通过线性变换将高维数据投影到低维空间的统计方法，其核心思想是在保留数据主要特征的同时降低数据维度。PCA通过找到数据方差最大的方向(主成分)来实现这一目标。

2.2 PCA的应用场景

- 数据可视化：将高维数据降至2D/3D便于可视化
- 特征提取：减少特征数量，提高模型效率

 3. 原理

3.1 向量内积

内积：

A与B内积：

3.2 基与基变换

基也称基底，是描述向量空间的基本工具。任意两个线性无关的二维向量都可以作为一组基底。

定义一组新的基底 y1 、y2，并将坐标点（3，2）映射到新的基底中，如下所示：

几何坐标如下所示：

将其推广到多维，如下所示：

从抽象角度来说来说，基变换就是将一个坐标映射到另一组基底中，而因此产生的线性变换。

3.3 选择最优基

       为了找到最优的基底，我们要寻找到一组基，使得所有的点映射后，所产生的方差最大。代表着点越离散，丢失的点越少。（对于二维降到一维来说）

方差：

       而对于三维降到二维，仅仅一个基底是不够用的，我们需要找到两个线性无关的基。通过协方差找到最优一组基。

协方差：

        协方差为0时，两个字段完全独立。而我们利用这一特性来找到另一组基，因此两个基一定是正交的。 

推广：

协方差矩阵：

方差：

协方差：

3.4 协方差矩阵对角化

       基于上述思路，我们可以知道，想要找到最优基，就是找到一组除主对角线以外全为0的对角矩阵。因此，我们对协方差矩阵进行对角化。（协方差矩阵为实对称矩阵，一定可以相似对角化）。

     对角化的原理即求特征值与特征向量。即：      = 0  。求出特征值后，带回原矩阵，求出特征向量。单位后，则求出最优基。

4. 代码

导入相关库，读取数据，并将特征与标签分离：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA#导入数据
datas=pd.read_excel('电信客户流失数据.xlsx')
data=datas.iloc[:,:-1]
target=datas.iloc[:,-1]

重新划分训练集与测试集

from sklearn.model_selection import train_test_split
data_train,data_test,target_train,target_test=\train_test_split(data,target,test_size=0.2,random_state=20)

寻找决策树的最优深度：

from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_val_score
scores = []
depth_param_range = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]
for i in depth_param_range:dtr = tree.DecisionTreeClassifier(criterion='gini',max_depth=i,random_state=42)score = cross_val_score(dtr,data_train,target_train, cv=6, scoring='recall')score_mean = sum(score) / len(score)scores.append(score_mean)# print(f"当depth={i}时,召回率 Recall为: {score_mean}")best_c = depth_param_range[np.argmax(scores)]
print(f"最优解深度为: {best_c}")

用决策树算法训练数据：

dtr = tree.DecisionTreeClassifier(criterion='gini',max_depth=best_c,random_state=42)
dtr.fit(data_train,target_train)

测试模型训练效果：

from sklearn import metricstrain_predicted=dtr.predict(data_train)
print(metrics.classification_report(target_train,train_predicted))
# cm_plot(target_train,train_predicted).show()test_predicted=dtr.predict(data_test)
print(metrics.classification_report(target_test,test_predicted))
# cm_plot(target_test,test_predicted).show()
dtr.score(data_test,target_test)print(dtr.score(data_test,target_test))

结果如下：

PCA降维：创建PCA对象，并拟合模型

pca = PCA(n_components=0.9)  # 初始化 PCA，保留 90% 的原始数据方差
pca.fit(data)  # 在整个数据集（data）上拟合 PCA（计算主成分）# 打印 PCA 解释的方差信息
print('特征所占百分比:{}'.format(sum(pca.explained_variance_ratio_)))  # 累计方差占比（应≈90%）
print(pca.explained_variance_ratio_)  # 每个主成分的方差贡献率

对数据降维后重新训练并评估：

new_x_train = pca.transform(data_train)  # 对训练集降维
dtr.fit(new_x_train, target_train)  # 用降维后的训练数据训练决策树# 在训练集上预测并评估
new_x_train_predicted = dtr.predict(new_x_train)
print(metrics.classification_report(target_train, new_x_train_predicted))  # 分类报告（精确率、召回率、F1等）
print(dtr.score(new_x_train, target_train))  # 准确率（Accuracy）

对测试集也进行降维，并预测评估：

new_x_test = pca.transform(data_test)  # 对测试集降维new_x_test_predicted = dtr.predict(new_x_test)  # 预测测试集
print(metrics.classification_report(target_test, new_x_test_predicted))  # 测试集分类报告
print(dtr.score(new_x_test, target_test))  # 测试集准确率

运行结果如下：

完整代码如下：

import pandas as pd
import numpy as np
from sklearn.decomposition import PCA#导入数据
datas=pd.read_excel('电信客户流失数据.xlsx')
data=datas.iloc[:,:-1]
target=datas.iloc[:,-1]from sklearn.model_selection import train_test_split
data_train,data_test,target_train,target_test=\train_test_split(data,target,test_size=0.2,random_state=20)from sklearn import tree# dtr = tree.DecisionTreeClassifier(criterion='gini',max_depth=None,random_state=42)
# dtr.fit(data_train,target_train)from sklearn.model_selection import train_test_split, cross_val_score
scores = []
depth_param_range = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]
for i in depth_param_range:dtr = tree.DecisionTreeClassifier(criterion='gini',max_depth=i,random_state=42)score = cross_val_score(dtr,data_train,target_train, cv=6, scoring='recall')score_mean = sum(score) / len(score)scores.append(score_mean)# print(f"当depth={i}时,召回率 Recall为: {score_mean}")best_c = depth_param_range[np.argmax(scores)]
print(f"最优解深度为: {best_c}")dtr = tree.DecisionTreeClassifier(criterion='gini',max_depth=best_c,random_state=42)
dtr.fit(data_train,target_train)from sklearn import metricstrain_predicted=dtr.predict(data_train)
print(metrics.classification_report(target_train,train_predicted))
# cm_plot(target_train,train_predicted).show()test_predicted=dtr.predict(data_test)
print(metrics.classification_report(target_test,test_predicted))
# cm_plot(target_test,test_predicted).show()
print(dtr.score(data_test,target_test))pca=PCA(n_components=0.9)
pca.fit(data)print('特征所占百分比:{}'.format(sum(pca.explained_variance_ratio_)))
print(pca.explained_variance_ratio_)new_x_train=pca.transform(data_train)
dtr.fit(new_x_train,target_train)new_x_train_predicted=dtr.predict(new_x_train)
print(metrics.classification_report(target_train,new_x_train_predicted))
print(dtr.score(new_x_train,target_train))new_x_test=pca.transform(data_test)new_x_test_predicted=dtr.predict(new_x_test)
print(metrics.classification_report(target_test,new_x_test_predicted))
print(dtr.score(new_x_test,target_test))

5. 结论

        PCA是一种强大而灵活的降维工具，在数据预处理、特征工程和探索性数据分析中有着广泛应用。理解PCA的数学原理有助于更好地调参和解释结果。虽然PCA有一些局限性，但通过核技巧、稀疏约束等扩展方法，可以适应更复杂的应用场景。