数学-算法

一、数学算法

1、高斯算法

    以首项加末项乘以项数除以2来计算“1+2+3+4+5+···+（n-1）+n”的结果。这样的算法被称为高斯算法。

算法由来

    高斯小时候非常淘气，一次数学课上，老师为了让他们安静下来，给他们列了一道很难的算式，让他们一个小时内算出1+2+3+4+5+6+……+100的得数。全班只有高斯用了不到20分钟给出了答案，因为他想到了用（1+100）+（2+99）+（3+98）……+（50+51）……一共有50个101，所以50×101就是1加到一百的得数。后来人们把这种简便算法称作高斯算法。

计算方法

求结果
结果的计算方法： （首项 + 末项）* 项数 / 2
例1：1+2+3+4+5+······+10，公式为：(1+10) * 10 / 2 = 55
例2：1+2+3+4+5+······+100，公式为：(1+100) * 100 / 2 = 5050
例3：2+4+6+8+······+20，公式为：(2+20) * 10 / 2 = 110
例4：1+2+3+4+5+······+n，公式为：(1+n) *n / 2
例5：2+4+6+8+10+······+n，公式为：(2+n) * [(n-2)/2+1] / 2

求项数
项数的计算方法：(末项 - 首项) / 项差 + 1
项差: 每项之间的差。例：1+2+3+4+5+······，项差为1
例1：1+2+3+4+······+10，项数为：(10-1) / 1+1 = 10
例2：4+8+12+16+······+28，项数为：(28-4) / 4+1 = 7

人物介绍

    约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777年4月30日－1855年2月23日）德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，是近代数学奠基者之一，被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称。
    高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯”命名的成果达110个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。

2、等差数列求和

    一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，用字母d表示，等差数列的首项用a1表示。一般地，Sn=a1+a2+a3+…+an，我们称Sn为数列{an}的前n项和，等差数列的前n项和的求和公式为Sn=n(a1+an)/2，也可以表示为Sn=na1+n(n-1)d/2。

公式

对于等差数列，前n项的和的求和公式为：

推导

倒序相加法

    高斯10岁时，他的算术老师出了一道题目，求1+2+3+…+100的结果，高斯给出了一种巧妙的解法：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+…+（50+51）=101×50=5050. 将这个算法推广到公差为d的任意等差数列{an}中，就可以得到等差数列的求和公式。

    /*** 等差数列求和** @param a1:开始项* @param d:公差* @param n:项数* @return*/private static int arithmeticSeriesSum(int a1, int d, int n) {return (a1 + a1 + (n - 1) * d) * n / 2;}

2829. k-avoiding 数组的最小总和 - 力扣（LeetCode）

//贪心 + 等差数列求和// 根据题目要求，在k是奇数的情况下，如果某个正整数a在数组中，那么k-a肯定不能在数组中。// 反过来也一样。但是题目要求总和最小，因此我们肯定是将这两个数字中小的放入数组，// 并且从1开始挑选数字放入数组，直到k/2为止。这之后的数字到k-1为止，都不能放入数组。// 如果这时数字还没到到达n个，我们需要从k开始，再挑选连续的 k−k/2个数字加入数组。因此最后的数组和是一段或者两段等差数列求和。public static int minimumSum(int n, int k) {if (n <= k / 2) {return arithmeticSeriesSum(1, 1, n);} else {return arithmeticSeriesSum(1, 1, k / 2) + arithmeticSeriesSum(k, 1, n - k / 2);}}/*** 等差数列求和** @param a1:开始项* @param d:公差* @param n:项数* @return*/private static int arithmeticSeriesSum(int a1, int d, int n) {return (a1 + a1 + (n - 1) * d) * n / 2;}

数据结构和算法(一)

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