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【算法】动态规划

news 2025/3/17 19:11:13

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动图描述

动态规划总结

动态规划通过将问题分解为子问题并存储子问题的解（由记忆化搜索延伸）来避免重复计算。动态规划的关键就是状态和转移。

特点：
1. 重叠子问题：问题可以分解为多个重复的子问题，通过存储子问题的解避免重复计算；
2. 最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解推导出来；
3. 状态转移方程：通过方程描述问题状态之间的关系，定义如何从子问题的解推导出当前问题的解；
4. 存储中间结果：通常使用数组或表格存储子问题的解，以便后续使用。

适用题型：
1. 最优化问题：如最短路径、最长公共子序列等；
2. 计数问题：如计算路径数量、组合数等；
3. 组合问题：如背包问题、硬币找零等；
4. 序列问题：如最长递增子序列、编辑距离等；

解题步骤：
1. 定义状态：明确问题的状态表示；
2. 确定状态转移方程：找出状态之间的关系；
3. 初始化：设置初始状态的值；
4. 计算顺序：确定计算状态的顺序，通常自底向上或自顶向下；
5. 返回结果：根据存储的状态得到最终解。

以上内容由Deepseek和我共同总结。

动态规划的特点：
有后效性，当前的决策会影响到后面的决策。
具有最优子结构的特征。

解这类题的步骤：

定义数组（数学归纳法中的定义函数）：如f[i]表示的是什么，时刻记住你定义的数组的含义。有时题上为了降低难度会帮我们定义。但是有时也会误导我们。方案dp。
写状态转移方程。
有两种写法：f[i]由什么转移过来。f[i]可以发展到f[i+1]的什么情况。
通常我们写第一种写法，因为方便表达和下标的书写，理解起来更容易。
初始化。
初始化f[0]，初始化的方法有两种：根据定义的函数来写，根据实际意思。
枚举遍历所有的情况。用子结构递推到最终的结果。

以上是博主@一只蓝色小鲨鱼的总结，原文链接：动态规划——方案dp（考研复试上机知识点）。

1、常见动态规划

Fibonacci数列

Fibonacci数列

动态规划做法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;vector<int> dp(sqrt(n));dp[0] = 0, dp[1] = 1;int s1 = 0, s2 = 0;for (int i = 2; i < n; i++){dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];if (dp[i] > n){while (dp[i] != n){s1++;dp[i]--;}while (dp[i - 1] != n){s2++;dp[i - 1]++;}break;}}cout << min(s1, s2) << endl;return 0;
}

滚动数组做法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;int a = 0, b = 1, c = 1;while (true){if (c >= n) break;a = b;b = c;c = a + b; // 这几个顺序不能乱，c = a + b最后算}  cout << min((c - n), (n - b)) << endl;return 0;
}

杨辉三角

杨辉三角

在这里插入图片描述

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int main()
{int n;cin >> n;vector<vector<int>> v(n, vector<int>(n, 1));for (int y = 0; y < n; y++){for (int x = 0; x < y + 1; x++){if (y > 1){if (x > 0 && x < y)v[x][y] = v[x][y - 1] + v[x - 1][y - 1];}printf("%5d", v[x][y]);}cout << endl;}return 0;
}

最小花费爬楼梯

NC296 最小花费爬楼梯

在这里插入图片描述

注意要爬到楼顶，最后一个数之后才是楼顶，所以dp数组要多开一个空间。

下面的dp[i]表示到第i个台阶所花费的钱。 因此到楼顶就是dp[n]。

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();vector<int> dp(n + 1);dp[0] = dp[1] = 0;for (int i = 2; i <= n; i++)dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);return dp[n];}
};

下面的dp[i]表示从第i个台阶到楼顶所花费的钱。

class Solution {
public:int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {int n = cost.size();vector<int> dp(n + 1);dp[n - 1] = cost[n - 1];dp[n - 2] = cost[n - 2];for (int i = n - 3; i >= 0; i--)dp[i] = cost[i] + min(dp[i + 1], dp[i + 2]);return min(dp[0], dp[1]);}
};

孩子们的游戏

孩子们的游戏

在这里插入图片描述

经典的约瑟夫环问题，也可以利用链表和数组模拟来做。本题通过动态规划可以找到一个规律。
在这里插入图片描述
其中 dp[i] 表示 i 个孩子的时候谁拿到了那个礼物。

class Solution {
public:int LastRemaining_Solution(int n, int m) {int f = 0; // 第一个孩子拿到礼物的就死他自己for (int i = 2; i <= n; i++)f = (f + m) % i;return f;}
};

2、组合方案

李白打酒加强版（lqb）

在这里插入图片描述

请添加图片描述

一般求合法的个数、顺序、排列、方案等且范围不是很大，大概率是用动态规划做。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int mod = 1e9 + 7;
// dp[i][j][k]表示经过i家店，j朵花，壶里还有k斗酒的方案总数 
int dp[110][110][110];int main()
{int n, m;cin >> n >> m;dp[0][0][2] = 1;for (int i = 0; i <= n; i++){for (int j = 0; j <= m; j++){for (int k = 0; k < m; k++){if (k % 2 == 0 && i > 0){dp[i][j][k] += (dp[i - 1][j][k / 2]) % mod; }if (j > 0){dp[i][j][k] += (dp[i][j - 1][k + 1]) % mod;}}}}cout << dp[n][m - 1][1] << endl;return 0;}