P3385 【模板】负环
P3385 【模板】负环 - 洛谷
题目描述
给定一个 n 个点的有向图，请求出图中是否存在从顶点 1 出发能到达的负环。
负环的定义是：一条边权之和为负数的回路。
输入格式
本题单测试点有多组测试数据。
输入的第一行是一个整数 T，表示测试数据的组数。对于每组数据的格式如下：
第一行有两个整数，分别表示图的点数 n 和接下来给出边信息的条数 m。
接下来 m 行，每行三个整数 u,v,w。
- 若 w>0，则表示存在一条从 u 至 v 边权为 w 的边，还存在一条从 v 至 u 边权为 w 的边。
- 若 w<0，则只表示存在一条从 u 至 v 边权为 w 的边。
输出格式
对于每组数据，输出一行一个字符串，若所求负环存在，则输出 YES，否则输出 NO。
输入输出样例
输入 #1
2
3 4
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 -3
2 3
1 2 3
2 3 4
3 1 -8输出 #1
NO
YES说明/提示
数据规模与约定
对于全部的测试点，保证：
- 1≤n≤2×103
- 1≤m≤3×103
- 1≤u,v≤n
- −104≤w≤104
- 1≤T≤10
提示
请注意，m 不是图的边数。
思路：
SPFA算法原理
SPFA算法是Bellman-Ford算法的队列优化版本，用于求解单源最短路径问题，特别适用于存在负权边的图。算法的基本思想是：
- 初始化：将源点到所有点的最短路径估计值初始化为无穷大（或一个很大的数），源点到自身的距离初始化为0，并将源点加入队列。
- 松弛操作：每次从队列中取出一个点，对该点的所有邻接点进行松弛操作。如果通过当前点能够找到更短的路径到达邻接点，则更新邻接点的最短路径估计值，并将邻接点加入队列（如果它不在队列中）。
- 重复执行：不断重复上述松弛操作，直到队列为空。
负环的性质
负环是指图中存在一个环，环上的边权之和为负数。负环的存在会导致最短路径问题无解，因为可以无限次地通过负环来减小路径长度。
SPFA判断负环的原理
在SPFA算法中，如果图中存在负环，那么算法在松弛操作时会不断地更新负环上点的最短路径估计值，并将这些点反复加入队列。具体来说，如果一个点被松弛了多次（超过图中节点的总数），说明该点可能位于一个负环上，因为正常情况下，从一个点到另一个点的最短路径不会经过超过图中节点总数的边数（在最短路径中，每个节点最多被经过一次，除非存在环）。
为了检测负环，SPFA算法在执行过程中会记录每个点进入队列的次数。如果一个点进入队列的次数超过了图中节点的总数，就可以判定图中存在负环。
算法实现细节
在实际实现中，SPFA算法通常使用一个计数器数组来记录每个点进入队列的次数。在松弛操作时，如果更新了某个点的最短路径估计值，并且该点不在队列中，就将其加入队列，并增加其计数器值。最后，检查所有点的计数器值，如果存在超过图中节点总数的计数器值，就返回存在负环的结果。
代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 2e5 * 5 + 5;
ll tot = 0;
ll n, m, s;
struct Edge{ll next,to,w;
}e[N];
ll head[N],dis[N];
void add(ll u,ll v,ll w)
{tot++;e[tot].next = head[u];e[tot].to = v;e[tot].w = w;head[u] = tot;
}
void spfa()
{queue<ll> q;q.push(s);memset(dis,0x3f,sizeof dis);dis[s]=0;while(!q.empty()){ll pos = q.front();q.pop();ll u = head[u];while(u != -1){ll to = e[u].to;ll w = e[u].w;if(dis[to] > w + dis[pos]){dis[to] = w + dis[pos];q.push(to);}}}
}
int main()
{cin >> n >> m >> s;for(ll i = 1 ; i <= m ; i++){ll u,v,w;cin >> u >> v >> w;add(u,v,w);}spfa();return 0;
}