前缀和、区间和的差别

【前缀和】
定义：前缀和是指一个数组（或矩阵）中，从第一个元素到当前元素的累加和。通过预处理数组，构造一个前缀和数组，使得前缀和数组的每个元素表示原数组从第一个元素到该元素的累加和。‌
用途：前缀和是一个预处理过程，通过构造前缀和数组来优化区间和的计算。
一维前缀和：cin>>a[i], s[i]=s[i-1]+a[i]  （1≤i≤n）  或者  cin>>s[i], s[i]+=s[i-1]  （1≤i≤n）
二维前缀和：cin>>a[i][j], s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]  （1≤i≤n，1≤j≤m）

备注：图中每个方格代表 a[i][j]。

【区间和】‌
定义：区间和是指一个数组（或矩阵）中，任意两个元素之间（包括这两个元素）的所有元素的和。区间和的计算通常依赖于前缀和数组或其他数据结构来实现高效计算。
用途：区间和是前缀和的一种应用结果，通过前缀和数组可以快速计算出任意区间的和。
一维区间和：s[x2]-s[x1-1]    （x2≥x1）
二维区间和：s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]    （x2≥x1，y2≥y1）

【“斜十字法”图例助记二维前缀和及二维差分等公式】
很多朋友反映，二维前缀和及二维区间和的公式不好记。记都记不住，那就更谈不上应用了。
在这里给大家推荐一个技巧，保准记得牢靠。即，首先观察一维的公式，然后使用“斜十字法”的图例推衍记忆二维的公式。
例如，针对一维的“区间和 s[x2]-s[x1-1]  （x2≥x1）”，那么其二维的形式是什么呢？步骤如下：（1）由一维公式中的下标 x2、x1-1 推衍出二维公式中的下标为 (x2, y2)、(x1-1, y1-1)。
（2）利用二维公式中的下标 (x2, y2)、(x1-1, y1-1) 进行“斜十字法”绘图如下。特别要注意，由于一维区间和公式中的 x2 先于 x1-1 出现，所以“斜十字法”图例中推衍而得的二维区间和公式中的 x2、y2 要绘制在 x1-1、y1-1 上方。

（3）针对一维的“区间和 s[x2]-s[x1-1]  （x2≥x1）”公式形式，结合“斜十字法”图例，容易推衍求得二维的区间和公式为 s[x2][y2]-s[x2][y1-1]-s[x1-1][y2]+s[x1-1][y1-1]。

【注意】
● 在图例中，约定 ① ④ 操作为“ + ”，② ③ 操作为“ - ”。
● 本博客是自己创造的助记方法，仅供参考。这种助记方法以一维的形式为出发点，所以前提是必须牢记一维的形式。



【参考文献】
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/145282546
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/145290457
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/144908502