几种3D 旋转 的参数化形式

在 3D 空间中，旋转是 3 自由度的，刚体变换是 6 自由度的（3自由度旋转+3自由度平移）。

3x3 的旋转矩阵有 9 个量，表达了 3自由度的旋转。 旋转矩阵是有 自约束的，即一个旋转矩阵是一个 正交矩阵，而且行列式为1。
如果使用 有 4x4（或4x3）个分量 的 变换矩阵 来表示 刚体变换，那么相当于用 16 个量（12 个量）来表达 6 自由度，存在很大的信息冗余。

旋转矩阵

信息冗余，有自约束：正交约束，不适合插值

轴角/角轴/旋转向量 Axis-Angle

任意旋转都可以用一个 旋转 轴 和 一个 旋转角来刻画。
于是可以用一个向量，方向与旋转轴 一致，模长等于 旋转角，这种向量称之为旋转向量或轴角或角轴。
旋转向量跟 旋转矩阵，可以由 Rodrigues’s Formula 相互转换。

角轴缺点：旋转轴 v 和角度 theta，与旋转轴 -v，旋转角度 theta±2kpi是一样的。不连续。

欧拉角

把一个旋转分解成 3 次绕不同轴的旋转，使用 3 个分离的转角。
XYZ, ZYZ,ZYX， yaw-pitch-roll，在特定领域，会定义欧拉角的过程。

欧拉角重大缺点是 万向锁问题，在 中间旋转，比如 pitch 的旋转度数 为 90°时，会出现roll 的轴跟 yaw 的轴重叠，这样会缺少一个旋转自由度。

关于 万向锁讲解的视频：https://www.youtube.com/watch?v=vLDn-ZITDgA&t=2s

四元数

既是紧凑的，也没有奇异性。
三维旋转可以由 单位四元数描述。

空间中的一个 三维点 用虚四元数 p 描述，令一个由单位四元数指定的 旋转为 q
那么 p 经过旋转之后 得到的 p’

p’ = qpq^(-1)

q = cos( theta/2 ) +sin( theta/2 )( ui+ vj + w*k )

四元数可以和 旋转矩阵和旋转向量 相互转换。

四元数缺点： q 跟 -q 表示相同的 3D 旋转（四元数是三维旋转的 double cover”指的是：在四元数的单位球面上，每一个物理旋转对应两点 q 和 −q。这二者在几何效果上无差别，但在数值应用和插值时需要留意）

验证代码1，转化成旋转矩阵

import numpy as np
from scipy.spatial.transform import Rotation as Rdef main():# 1. 随机生成一个旋转，并获取相应的四元数#    Scipy 的 from_rotvec 可以通过轴-角表示生成一个旋转（此处随机 轴*角）random_axis_angle = np.random.randn(3)  # 随机生成一个三维向量rot = R.from_rotvec(random_axis_angle)  # 以随机轴向量的范数作为旋转角度# 从 Rotation 对象获取四元数，scipy 默认顺序为 [x, y, z, w]q_scipy = rot.as_quat()print("原四元数 (x, y, z, w):", q_scipy)# 2. 构造 -q: 只要把四元数取反即可#    注意这里依旧要保持同样的顺序 (x, y, z, w)neg_q_scipy = -q_scipyprint("相反四元数 (x, y, z, w):", neg_q_scipy)# 3. 使用两个 Rotation 对象：q 和 -q#    分别对同一个向量进行旋转，看结果是否一致#    注意：Rotation.from_quat() 的输入必须是 [x, y, z, w]rot_q = R.from_quat(q_scipy)rot_neg_q = R.from_quat(neg_q_scipy)# 4. 测试向量，这里随便选一个或多个test_vector = np.array([-1.0, 2.5, 3.7])rotated_by_q = rot_q.apply(test_vector)rotated_by_neg_q = rot_neg_q.apply(test_vector)print("向量:", test_vector)print("使用  q   旋转后的结果:", rotated_by_q)print("使用 -q   旋转后的结果:", rotated_by_neg_q)# 5. 验证是否近似相等#    若 q 和 -q 代表同一个 3D 旋转，则结果应当一致（允许一定数值误差）if np.allclose(rotated_by_q, rotated_by_neg_q, atol=1e-7):print("结论: q 和 -q 对该向量的旋转结果一致，代表同一个旋转。")else:print("结论: 结果不一致，需检查实现。")if __name__ == "__main__":main()

验证代码2，直接用 qpq^(-1)

#python -m pip install --upgrade --force-reinstall numpy-quaternionimport numpy as np
import quaternion  # 来自 numpy-quaternion 库def quater_rotate_vector(q, v):"""用单位四元数 q 旋转三维向量 v (np.array)，计算方式：q * (0, v) * q.inverse()返回旋转后的向量 (np.array)。"""# 将 v 嵌入成为 '纯四元数' (0, vx, vy, vz)p = np.quaternion(0, v[0], v[1], v[2])# 旋转: v' = q * p * q.inverse()rotated = q * p * q.inverse()# 提取旋转结果的 (x, y, z) 部分return np.array([rotated.x, rotated.y, rotated.z])def main():# 1. 随机生成一个旋转轴axis = np.random.randn(3)axis /= np.linalg.norm(axis)  # 归一化# 随机生成一个旋转角度angle = np.random.rand() * 2.0 * np.pi# 2. 构造对应的单位四元数 qhalf_angle = angle / 2.0qw = np.cos(half_angle)q_xyz = axis * np.sin(half_angle)q = np.quaternion(qw, q_xyz[0], q_xyz[1], q_xyz[2])# 3. 构造 -qneg_q = -q# 4. 随机生成一个 3D 向量 pp = np.random.randn(3)# 5. 分别用 q 和 -q 旋转向量 pr1 = quater_rotate_vector(q, p)r2 = quater_rotate_vector(neg_q, p)print("随机单位四元数 q = ", q)print("相反四元数   -q = ", neg_q)print("待旋转向量 p = ", p)print("\n用  q   旋转 p 的结果 =", r1)print("用 -q   旋转 p 的结果 =", r2)# 6. 验证是否近似相等#    对单位四元数而言，q 和 -q 代表同一个旋转，结果应基本相同if np.allclose(r1, r2, atol=1e-7):print("\n结论: q 和 -q 对该向量的旋转结果一致，代表同一个旋转。")else:print("\n结论: 结果不一致，需要检查。")if __name__ == "__main__":main()

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甚至可以固定 q 只变化 q^(-1)，反之亦然

https://eater.net/quaternions
https://eater.net/quaternions/video/intro
https://www.youtube.com/watch?v=d4EgbgTm0Bg
https://www.youtube.com/watch?v=zjMuIxRvygQ