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【抽象代数】1.1. 运算及关系

news 2025/2/8 18:20:11

集合与映射

定义1. 设 $A_0$ 为 $A$ 的子集，定义 $A_0$ 到 $A$ 的映射 $i$ ： $A_0\Rightarrow A$ 使得 $l(x)=x,x \in A_0$ ，称 $i$ 为 $A_0$ 到 $A$ 的嵌入映射。

定义2. 设 $A_0$ 为 $A$ 的子集， $f$ 为 $A$ 到 $B$ 的映射， $g$ 为 $A_0$ 到 $B$ 的映射，如果 $f(x)=g(x),\forall x \in A_0$ ，称 $f$ 为 $g$ 的开拓， $g$ 为 $f$ 的限制，记为 $g=f |_{A_0}$ 。

定义3. 设 $A_1$ ， $A_2$ 为两个集合，令 $A_1 \times A_2=\left \{ (a,b)|a \in A_1,b \in A_2 \right \}$ ，集合称为 $A_1$ 与 $A_2$ 的直积。

运算

定义4. 设 $A$ ， $B$ ， $D$ 为三个非空集合，一个映射 $f$ ： $A\times B\rightarrow D$ ，称为 $A$ 与 $B$ 到 $D$ 的一个代数运算。

定义5. 设 $A$ 上定义了二元运算，满足 $ab=ba,\forall a,b \in A$ 称二元运算满足交换律。

定义6. 设 $A$ 上定义了二元运算，满足 $a(bc)=(ab)c,\forall a,b,c \in A$ 称这个运算满足结合律。

定义7. 设 $A$ 上定义了两种运算 $\circ , +$ ，满足 $a\circ (b+c)=a\circ b+a\circ c,\forall a,b,c \in A$ 称这个运算满足 $\circ$ 对 $+$ 的左分配律；满足 $(b+c)\circ a=b\circ a+c\circ a,\forall a,b,c \in A$ 称这个运算满足 $\circ$ 对 $+$ 的右分配律。

集合 $A$ 中如果 $a^n, n \in N$ 有定义，那么集合 $A$ 一定满足结合律。

集合 $A$ 中如果 $(ab)^n=a^n b^n, n \in N$ 有定义，那么集合 $A$ 一定满足交换律。

构造新集合的方法——关系

定义8. 关系：集合 $A \neq \varnothing$ 中一种对两个元素而说的一种性质，使得 $A$ 中任何两个元素或有这种性质或没有这种性质（两者必居其一，用 $R$ 来表示）。将有关系的元素对构成 $A \times A$ 的子集， $R=\left \{ (a,b)|a R b \right \}$ ，反之， $A \times A$ 中有一个子集 $R$ ，则可以定义关系 $R$ 使得 $a Rb\Rightarrow (a,b)\in R$ 。

定义9. 设 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中一个关系为 $A \times A$ 中的一个子集 $R$ 。

关系 $R$ 是定义在集合 $A$ 上的一种规则或方式，表示集合 $A$ 中某些元素之间的某种关系。换句话说，关系 $R$ 是由集合 $A$ 中的一些元素对组成的，它可以看作是笛卡尔积 $A \times A$ 的一个子集。

定义10. 设 $A \neq \varnothing$ 中定义了关系 $R$ ，若 $R$ 满足条件：

1）反身性 $\forall a \in A, aRa$

2）对称性 $aRb\Rightarrow bRa$

3）传递性 $aRb, bRc \Rightarrow aRc$ ，则称 $R$ 为等价关系。

定义11. 设 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中的一个划分（分类）是指 $A$ 中的一些子集合的集合，满足 $\forall a \in A$ ， $a$ 包含而且仅包含在一个子集合中。 $A$ 中的一个划分就是将 $A$ 写成一些不相交的非空子集合之并： $A=\cup A_i, \forall i, A_i\neq\varnothing$ ， $\forall i,j \in I, i\neq j, A_i \cap A_j=\varnothing$ 。

定义12. 设 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中有一个等价关系 $R$ ，满足 $\forall a \in A$ ，定义 $a$ 的等价类， $\bar{a} =\left \{b \in A|aRb\right\}$ ，或者称为 $a$ 所在的等价类。

定义13.设 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中的一个等价关系 $R$ ，满足 $\forall a \in A$ ，定义集合 $A|R=\left \{ \bar{a}|a\in A \right\}$ （重复的只取一个），称为 $A$ 对 $R$ 的商集合。

定义14. 映射 $\pi:A\rightarrow R,\pi(a)=\bar{a}$ ，称为 $A$ 到 $A|R$ 的自然映射。

定义15. 设 $A \neq \varnothing$ ， $A$ 中定义了一个二元运算 $\circ$ ，有定义了等价关系 $R$ ，如果 $R$ 与 $\circ$ 满足条件： $a_1Rb_1,a_2Rb_2\Rightarrow a_1\circ a_2 R b_1 \circ b_2$ ，则称 $R$ 为 $\circ$ 的同余关系。