时频分析之S变换
S变换的提出
1996年，由R.G Stockwell 提出了S变换，和其他时频分析工具一样，通过S变换，我们可以同时从时域以及频域观察一个信号的能量分布。S变换融合了短时傅里叶变换和小波变换的优点。关于S变换，最早发表于TSP上的文章Localization of the complex spectrum: the S transform：
Stockwell R G , Mansinha L , Lowe R P . Localization of the complex spectrum: the S transform[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 44(4):998-1001.
S变换采用高斯函数作为窗，且该时间窗和频率有关，在低频部分时窗较大，在高频部分时窗时窗较小。作为线性时频分析方法，它的频率分辨率和时间分辨率无法同时达到最优。
由于在高频时，时窗较小，当信号在高频比较丰富时，S变换得到的时频分辨率就会出现比较严重的混叠现象。
S变换的定义
对应信号 x ( t ) ∈ L 2 ( R ) x(t)\in L^2(R) x(t)∈L2(R)， L 2 ( R ) L^2(R) L2(R)为能量有限函数空间， x ( t ) x(t) x(t)的S变换的表达式为
S ( τ , f ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) ∣ f ∣ 2 π e − ( t − τ ) 2 f 2 2 e − j 2 π f t d t S(\tau,f)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)\frac{|f|}{\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\tau)^2f^2}{2}}\mathrm{e}^{-j2\pi ft}dt S(τ,f)=∫−∞+∞x(t)2π∣f∣e−2(t−τ)2f2e−j2πftdt
式中， x ( t ) x(t) x(t)是关于时间的连续函数， τ \tau τ是一个控制参数，用来确定高斯窗在时间轴上的位置， f f f是频率。其中高斯窗函数定义为：
ω ( t , f ) = 1 σ ( f ) 2 π e − t 2 2 σ ( f ) 2 \omega(t,f)=\frac{1}{\sigma(f)\sqrt{2\pi}}\mathrm{e}^{-\frac{t^2}{2\sigma(f)^2}} ω(t,f)=σ(f)2π1e−2σ(f)2t2
窗口的标准差为：
σ ( f ) = 1 ∣ f ∣ \sigma(f)=\frac{1}{|f|} σ(f)=∣f∣1
由上式可以看出，标准差 σ ( f ) \sigma(f) σ(f)为频率的函数，取值为绝对值的倒数。由此可知 ω ( t , f ) \omega(t,f) ω(t,f)会随着频率的变换而自适应调整。
因此S变换的时频分辨率和频率的关系入下：
- 在处理低频信号时，S变换的窗口较宽，这有助于捕捉低频信号的细微变化，从而提高频率分辨率。
- 相反，在处理高频信号时，S变换的窗口较窄，这有助于精确地定位高频信号的时间位置，从而提高时间分辨率。