生物医学信号处理--随机信号的数字特征
前言
概率密度函数完整地表现了随机变量和随机过程的统计性质。但是信号经处理后再求其概率密度函数往往较难，而且往往也并不需要完整地了解随机变量或过程的全部统计性质只要了解其某些特定方面即可。这时就可以引用几个数值来表示该变量或过程在这几方面的特征。
例如，只要知道某随机过程在某一时刻的平均值和实际值相对于这个平均值的分散程度，这时只要了解它的均值和方差即可。
均值
E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x p ( x ; t ) d x E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xp(x;t)dx E(x)=∫−∞+∞xp(x;t)dx
相当于 t 时刻所有样本 x i ( t ) x_i(t) xi(t)的总体均值 lim N → + ∞ 1 N ∑ i = 1 N x i ( t ) { \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i(t) } N→+∞limN1i=1∑Nxi(t)当过程平稳时，均值与时间无关是常数。
如果平稳过程又是各态遍历的，总体均值将等于时间均值。此时均值可根据单样本来求
E ( x ) = m x = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T + T x ( t ) d t E(x)=m_x={ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T} x(t) }dt E(x)=mx=T→∞lim2T1∫−T+Tx(t)dt
时间均值和总体均值 两者区别：
时间均值：单一样本在全部时间历程内的统计结果
总体均值：全部样本集合在固定瞬间的统计结果。
均方
E ( x 2 ) = ∫ − ∞ + ∞ x 2 p ( x ; t ) d x E(x^2)=\int_{-\infty}^{+\infty}x^2p(x;t)dx E(x2)=∫−∞+∞x2p(x;t)dx
均方即全部样本集合在固定时刻的平均平方值 lim N → + ∞ 1 N ∑ i = 1 N x i 2 ( t ) { \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x^2_i(t) } N→+∞limN1i=1∑Nxi2(t)
如果平稳过程又是各态遍历的，它等于时间均方。
E ( x 2 ) = D x = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T + T x 2 ( t ) d t E(x^2)=D_x={ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T} x^2(t) }dt E(x2)=Dx=T→∞lim2T1∫−T+Tx2(t)dt
它反映的是随机信号的平均功率。
方差
反映随机变量在其均值附近的集中程度。方差愈小，随机变量取值愈集中。
E [ x − E ( x ) ] 2 = ∫ − ∞ + ∞ [ x − E ( x ) ] 2 p ( x ; t ) d x E[x-E(x)]^2=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(x)]^2p(x;t)dx E[x−E(x)]2=∫−∞+∞[x−E(x)]2p(x;t)dx
如果平稳过程又是各态遍历的，它也等于
E [ x − E ( x ) ] 2 = σ x 2 = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T + T [ x ( t ) − m x ] 2 d t E[x-E(x)]^2=\sigma_x^2={ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{+T} [x(t)-m_x]^2}dt E[x−E(x)]2=σx2=T→∞lim2T1∫−T+T[x(t)−mx]2dt
自相关
数字特征表示单一时刻随机变量的特征。
自相关函数则表征信号在不同时刻取值间的关联程度，在确定性情况下，
对于非周期信号： R x ( τ ) = ∫ − ∞ + ∞ x ( t ) x ( t + τ ) p ( x t , x t + τ ; t , t + τ ) d t R_x(\tau)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)x(t+\tau)p(x_t,x_{t+\tau};t,t+\tau)dt Rx(τ)=∫−∞+∞x(t)x(t+τ)p(xt,xt+τ;t,t+τ)dt
对于周期信号： R x ( τ ) = lim T → ∞ 1 T ∫ T 2 T 2 x ( t ) x ( t + τ ) d t R_x(\tau)={ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}\int_{\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} x(t)x(t+\tau) }dt Rx(τ)=T→∞limT1∫2T2Tx(t)x(t+τ)dt
在随机信号情况下：设 t 1 t_1 t1时刻的随机变量是 x 1 x_1 x1， t 2 t_2 t2时刻的随机变量是 x 2 x_2 x2
对于平稳过程，因为联合概率密度函数只是 τ = t 1 − t 2 \tau=t1-t2 τ=t1−t2差值的函数，所以所得结果只与 τ \tau τ有关，与时间起点的取法无关。
当过程各态遍历时，它又等于单一样本的自相关函数
对于信号是非周期的情况，一般 τ → + ∞ \tau→+∞ τ→+∞时， R x ( τ ) → 0 R_x(\tau)→0 Rx(τ)→0。波形的相邻值愈是独立无关， R x ( τ ) R_x(\tau) Rx(τ)随 τ \tau τ衰减得愈快。例如，白噪声的特点是不同时刻取值完全独立，因此，它的自相关函数只在 τ = 0 \tau=0 τ=0时有值， τ ≠ 0 \tau≠0 τ=0时， R x ( τ ) = 0 R_x(\tau)=0 Rx(τ)=0，即 R ( z ) R(z) R(z)是 δ \delta δ函数型。
平稳信号的自相关函数的性质
自协方差函数
进行信号处理时，往往先把均值(直流分量)除去再做剩余部分的相关函数。所得结果为自协方差， m x m_x mx为直流分量:
随机信号不同时刻的关系
平稳随机信号的功率谱
对于功率信号 s ( t ) s(t) s(t)其功率P定义为 P = lim T → ∞ 1 2 T ∫ − T T s 2 ( t ) d t P={ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}\int_{{-T}}^{T} s^2(t)}dt P=T→∞lim2T1∫−TTs2(t)dt
s ( t ) s(t) s(t)功率的频域表示：
P = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ lim T → ∞ 1 2 T ∣ F s T ( w ) ∣ 2 d w P={\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}|F_{s_T}(w)|^2}dw P=2π1∫−∞+∞T→∞lim2T1∣FsT(w)∣2dw
周期性信号可以在一个周期范围内做傅里叶级数展开，因此有离散的功率谱，而非周期信号能在全时间范围内做傅里叶变换，因此有连续的能量谱。随机信号虽然是非周期的，但持续时间却往往是无限的，因此性质上属于功率信号。
单个样本 x i ( t ) x_i(t) xi(t) 的功率谱密度为: S x i ( w ) = lim T → ∞ 1 2 T ∣ X i T ( w ) ∣ 2 S_{x_i}(w)={ \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T}|X_{i_T}(w)|^2} Sxi(w)=T→∞lim2T1∣XiT(w)∣2
其中：（这里的 X i T ( w ) X_{i_T}(w) XiT(w)与 F s T ( w ) F_{s_T}(w) FsT(w)同个意思）
平稳随机信号𝑋(𝑡) 的功率谱密度（简称功率谱）定义为：
S X ( w ) = E [ S x i ( w ) ] S_X(w)=E[S_{x_i}(w)] SX(w)=E[Sxi(w)]
经过推导可得：
S X ( w ) = ∫ − ∞ ∞ R x ( τ ) e − j w τ d τ S_X(w)={\int_{{-\infty}}^{\infty} R_x(\tau)e^{-jw\tau}}d\tau SX(w)=∫−∞∞Rx(τ)e−jwτdτ
其中 R x ( τ ) R_x(\tau) Rx(τ)为自相关函数
维纳-辛钦定理
功率谱密度的性质
例题
随机信号有下述三个样本函数组成： x 1 t = 1 , x 2 t = s i n t , x 3 t = c o s t x_1t = 1,x_2 t = sin t, x_3 t = cos t x1t=1,x2t=sint,x3t=cost，且等概率发生，计算信号的均值和自相关函数
