高等动力学中的正则变换

1 正则变化的定义

在相空间中，如果以时间t为参数的坐标变换

使得满足哈密顿正则方程

的动力变量 和 变成满足新的正则方程 

 的新的动力变量 和 ，则称该变换为正则变换。

该变换可逆的条件：雅可比行列式值不等于零

 正则变换的充要条件，是把哈密顿原理

 仍然变换为哈密顿原理。

2 正则变换定理

定理1 若存在一个，(k=1,2,...,N)及时间t的函数F=F(q，Q，t)使得下式成立，变化为正则的。

式中H是以变量 以及时间 t表示的哈密顿函数， 是另外一个以变量以及时间t表示 的哈密顿函数。 

定理2若存在一个，(k=1,2,...,N)及时间t的函数F=F(q，Q，t)使得下式成立，变化为正则的。

 并且新的哈密顿函数为

 定理3 设与之间的变换式为

 令

 若

 则变换是正则的。

3 例题