【欧拉公式】从无穷级数角度理解

欧拉公式（Euler’s Formula）是复数和三角函数之间的一个深刻而优美的关系，由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉提出。它在数学和物理中有着重要地位。欧拉公式可以写成：

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

其中：

• ( e ) 是自然对数的底，约等于 2.71828。
• ( i ) 是虚数单位，满足 ( $i^2=-1$ )。
• ( $\theta$ ) 是一个实数，通常表示角度（用弧度表示）。
• ($\cos \theta$) 和 ($\sin \theta$) 是分别是角度 ($\theta$) 的余弦和正弦值。

1. 几何解释

在复平面上，欧拉公式将一个复数 ( $e^{i\theta }$ ) 表示为一个模长为 1、辐角为 ($\theta$) 的复数。也就是说，这个复数位于单位圆上，距离原点 1 个单位，角度为 ($\theta$)。这是极坐标和复数指数表示之间的桥梁。

2. 欧拉公式的推导

欧拉公式可以通过泰勒级数展开式推导。回顾 ( $e^x$ )、($\cos x$)、(\sin x) 的泰勒级数：

$$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots$$

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

将 ( x ) 替换为 ( $i\theta$ )，再将其带入 ( e^{i\theta} ) 的展开式中，可以得到

$$e^{i\theta }=1+i\theta -\frac{{\theta }^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+i\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots$$

重组实部和虚部，发现实部是 ($\cos \theta$) 的展开式，虚部是 ($\sin \theta$) 的展开式，因此：

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

3. 欧拉恒等式

当 ($$\theta =\pi$$) 时，欧拉公式给出一个极简而又美妙的公式，被称为欧拉恒等式：

$$e^{i\pi }+1=0$$

这个公式将五个最基本的数学常数 (e)、(i)、($\pi$)、1 和 0 通过简单的等式连接起来，被誉为数学中的“宝石”。

4. 欧拉公式的应用

欧拉公式在许多领域有广泛应用，例如：

• 电路分析：在交流电中，电压和电流可以用复数表示，便于分析相位差和幅值。
• 量子力学：波函数常使用复数表示，欧拉公式有助于描述波动行为。
• 信号处理：在傅里叶变换和拉普拉斯变换中，欧拉公式用于将正弦信号和指数信号转换，从而简化分析。