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模糊理论与模糊集概述

news 2024/11/8 0:05:57

1. 模糊集

1️⃣ $\mu_A:U\to{[0,1]}$ ，将任意 $u\in{}U$ 映射到 $[0, 1]$ 上的某个函数

模糊集： $A=\{\mu_A(u),u\in{}U\}$ 称为 $U$ 上的一个模糊集，
$\mu_A$ ：定义在 $U$ 上的模糊集 $A$ 的隶属函数
$\mu_A(u)$ ： $u$ 对模糊集 $A$ 的隶属度

2️⃣离散论域 $U$ 的模糊集 $A$ ，以下表示中应剔除 $\mu_A(u_i)=0$ 的

表示1： $A=\{\mu_A(u_1),\mu_A(u_2),...,\mu_A(u_n)\}$
表示2： $A=\mu_A(u_1)/u_1+\mu_A(u_2)/u_2+...+\mu_A(u_n)/u_n= \sum\limits_{i=1}^{n} {\mu_A(u_i)}/{u_i}$
表示3： $A=\{\mu_A(u_1)/u_1,\mu_A(u_2)/u_2,...,\mu_A(u_n)/u_n\}=\bigcup_{i=1}^{n} {\mu_A(u_i)}/{u_i}$
表示4： $A=\{[\mu_A(u_1),u_1],[\mu_A(u_2),u_2],...,[\mu_A(u_n),u_n]\}$

3️⃣连续论域 $U$ 的模糊集 $A=\int\limits_{u\in{}U} {\mu_A(u)}/{u}$

4️⃣ $U$ 上所有模糊集表示为： $\mathcal{F}(U) = \{\mathcal{A} | \mu_{A} : U \to [0,1]\}$ 或 $\{\mu_{A} | \mu_{A} : U \to [0,1]\}$

2. 模糊集的运算

1️⃣ $B$ 包含于 $A$ ： $A,B\in{}\mathcal{F}(U)\,,\forall{}u\in{}U\,,\mu_B(u)\leq{}\mu_A(u)\to{}B\subseteq{}A$

2️⃣ $A$ ， $B$ 的交并补：

$\cup B : \mu_{A \cup B}(u) = \max\{\mu_{A}(u), \mu_{B}(u)\} = \mu_{A}(u) \vee \mu_{B}(u)$
例如 $\mu_{A}(1)=0.3/1\,,\mu_{B}(u)=0.4/1$ 则 $\mu_{A \cup B}(1)=\text{max}(0.3,0.4)/1=0.4/1$

$\cap B : \mu_{A \cap B}(u) = \min\{\mu_{A}(u), \mu_{B}(u)\} = \mu_{A}(u) \wedge \mu_{B}(u)$
$\neg A : \mu_{\neg A}(u) = 1 - \mu_{A}(u)$

3. 模糊关系

1️⃣笛卡尔乘积：了解即可

$A_i$ 是 $U_i$ 上的模糊集
$A_1A_2...,A_n$ 的笛卡尔乘积：
$\displaystyle{}A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \int\limits_{U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n} (\mu_{A_1}(u_1) \wedge \mu_{A_2}(u_2) \wedge \cdots \wedge \mu_{A_n}(u_n)) \, d(u_1, u_2, \ldots, u_n)$

笛卡尔乘积是 $U_1\times{}U_2\times{}...\times{}U_n$ 上的一个模糊集

2️⃣ $n$ 元模糊关系：了解即可

基于 $U_1\times{}U_2\times{}...\times{}U_n$ 论域
$\int\limits_{U_1 \times U_2 \times \cdots \times U_n} \mu_{R}(u_1,u_2,...,u_n)/(u_1, u_2, \ldots, u_n)$
二元模糊关系：基于 $U\times{}V$ ，当二者都为有限论域时，模糊关系可表示为举证
例如 $U=V=\{u_1,u_2,u_3\}$ 表示信任关系则有：
$\begin{bmatrix} \mu_R(u_{1}, v_{1}) & \mu_R(u_{1}, v_{2}) & \cdots & \mu_R(u_{1}, v_{n}) \\ \mu_R(u_{2}, v_{1}) & \mu_R(u_{2}, v_{2}) & \cdots & \mu_R(u_{2}, v_{n}) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mu_R(u_{m}, v_{1}) & \mu_R(u_{m}, v_{2}) & \cdots & \mu_R(u_{m}, v_{n}) \end{bmatrix} \quad \to \quad \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0.3 & 0.8 \\ 0.9 & 1 & 0.6 \\ 0.7 & 0.5 & 1 \\ \end{array} \right]$

3️⃣模糊关系的合成

$R_1,R_2$ 分别是 $U\times{}V,V\times{}W$ 的模糊关系，其合成即为 $R_1\circ{}R_2$
$\displaystyle{}\mu_{R_1 \circ R_2}(u, w) = \bigvee_{v \in V} \{ \mu_{R_1}(u, v) \wedge \mu_{R_2}(v, w) \}$
示例：

4. 模糊逻辑

1️⃣含义：含有模糊概念、模糊数据的语句

2️⃣形式：x_is_A， $A$ 是模糊概念(模糊集)；比如张三 is 如存在的

5. 模糊匹配

1️⃣形式：IF (x_is_A) THEN (y_is_B) ，证据和结论都用模糊命题表示， $A B$ 是模糊概念

2️⃣核心问题：条件的 $A$ 与证据的 $A^{'}$ 不一定完全相同，例如
IF x_is_小(知识) THEN y_is_大(结论)
x_is_微(证据)
3️⃣匹配度：计算两个模糊概念(集)之间的相似程度：计算题重灾区

海明距离： $\displaystyle{}\begin{cases} \displaystyle{}d(A, B) = \cfrac{1}{n} \times \sum\limits_{i=1}^{n} |\mu_A(u_i) - \mu_B(u_i)|\\\displaystyle{}d(A, B) = \cfrac{1}{b-a} \int_{a}^{b} |\mu_A(u) - \mu_B(u)| du \end{cases}$
欧几里得距离： $\displaystyle{}d(A, B) = \sqrt{\frac{1}{n} \times \sum\limits_{i=1}^{n} (\mu_A(u_i) - \mu_B(u_i))^2}$

4️⃣复合条件的模糊匹配

条件：E= x1_is_A1 AND x2_is_A2 AND...AND xn_is_An
证据：x1_is_A1',x2_is_A2',...,xn_is_An'，匹配度 $\delta_{match}(A_i，A_i')\,i=1,2,...,n$
整个条件与证据的匹配度
$\delta_{match}(E,E')=min\{\delta_{match}(A_i,A_i')\,i=1,2,...,n\}$
$\delta_{match}(E,E')=\prod\limits_{i=1}^{n}\delta{}_{match}(A_i,A_i')$

6. 模糊推理的基本模式

1️⃣模糊假言推理
知识：IF  x_is_A  THEN  y_is_B
证据：    x_is_A'
结论：                  y_is_B'
2️⃣模糊拒取式推理
知识：IF  x_is_A  THEN  y_is_B
证据：                  y_is_B'
结论：    x_is_A'            
3️⃣模糊推理方法(扎德)：由IF (x_is_A) THEN (y_is_B) 求出 $A B$ 之间的模糊关系 $R$ ，通过 $R$ 与相应证据合成求出模糊结论