矩阵论 •「线性空间、基变换与向量坐标变换」
线性空间
线性空间定义
《矩阵论》的课程上讲解了线性空间的详细定义（两种运算、满足八个性质）。在此我们只对线性空间（针对向量空间）做简要定义：
∀ x ⃗ , y ⃗ ∈ V 时 , 有唯一的 x ⃗ + y ⃗ ∈ V （加法封闭） ∀ x ⃗ ∈ V 时 , 有唯一的 k x ⃗ ∈ V （数乘封闭） \forall \vec{x},\vec{y} \in V时, 有唯一的\ \vec{x}+\vec{y} \in V （加法封闭）\\ \forall \vec{x} \in V时, 有唯一的\ k\vec{x} \in V （数乘封闭）\\ ∀x,y∈V时,有唯一的 x+y∈V（加法封闭）∀x∈V时,有唯一的 kx∈V（数乘封闭）
我们称向量集合 V V V 为一个「线性（向量）空间」。从定义中可知，关键是（向量）加法、数乘封闭，即线性空间中的元素对线性组合封闭
线性空间的基、维数
「线性相关与线性无关」：如果存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 ⋯ , k n \ k_1,k_2\cdots,k_n k1,k2⋯,kn，使得对于向量组 v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ \vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n} v1,v2...,vn，有 ∑ i = 1 n k i v i ⃗ = 0 ⃗ \sum_{i=1}^n k_i \vec{v_i} = \vec{0} ∑i=1nkivi=0，则称向量组 v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ \vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n} v1,v2...,vn 线性相关（即存在冗余的向量，对张成线性空间没作用）；否则（即 k 1 , k 2 ⋯ , k n \ k_1,k_2\cdots,k_n k1,k2⋯,kn 全为0）称向量组 v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ \vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n} v1,v2...,vn 线性无关
现在有一个线性（向量）空间 V V V， v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ \vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n} v1,v2...,vn 是 V V V 中的 n n n 个向量，如果该向量组满足：
- v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ \vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n} v1,v2...,vn 线性无关
- V V V 中的任一向量都可由 v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ \vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n} v1,v2...,vn 唯一地线性表示
则称向量组 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\} {v1,v2...,vn} 是线性空间 V V V 的一个「基」，并称基中的每个向量 v i ⃗ \vec{v_i} vi 为该基的「基向量」。基是线性空间 V V V 中的最大线性无关元素组；基是不唯一的，但不同的基所含元素个数相等（即下面的维数概念）；线性空间 V V V 中最大线性无关元素组所含元素个数，也即线性空间 V V V 的基中所含的基向量的个数，称为 V V V 的「维数」，记为 d i m V dimV dimV；
线性空间中元素的坐标
线性空间 V V V 的一个基 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\} {v1,v2...,vn} 就是该线性空间 V V V 的一个坐标系。于是线性空间 V V V 的任意一个元素（向量） v ⃗ \vec{v} v，都可以由 V V V 的这个基 { v 1 ⃗ , v 2 ⃗ . . . , v n ⃗ } \{\vec{v_1},\vec{v_2}...,\vec{v_n}\} {v1,v2...,vn} 线性表示，即： v ⃗ = ∑ i = 1 n k i v i ⃗ \vec{v} = \sum_{i=1}^n k_i \vec{v_i} v=∑i=1nkivi，我们称 k 1 , k 2 . . . , k n k_1,k_2...,k_n k1,k2...,kn 为元素（向量） v ⃗ \vec{v} v 在该坐标系下的「坐标」，记为 ( k 1 , k 2 . . . , k n ) T (k_{1},k_{2}...,k_{n})^{T} (k1,k2...,kn)T
- 线性空间中的同一元素（向量）在不同坐标系（基）下的坐标是不同的；
- 一般来说，线性空间及其元素是抽象的对象，不同线性空间中的元素完全可以具有千差万别的类别及性质。但坐标表示却把它们统一了起来，坐标表示把这种差别留给了基和基元素，由坐标所组成的新“向量”仅由数域中的数表示出来；
- 更进一步，原本抽象线性空间中元素的“加法”及 “数乘”经过坐标表示，就演化为坐标“向量”的加法及坐标“向量”的数乘（线性变换的矩阵表示，就是处理线性空间中元素的坐标“向量”）
基变换和向量坐标变换
设 x 1 ⃗ , x 2 ⃗ . . . , x n ⃗ \vec{x_1},\vec{x_2}...,\vec{x_n} x1,x2...,xn 是线性空间 V V V 的旧基， y 1 ⃗ , y 2 ⃗ . . . , y n ⃗ \vec{y_1},\vec{y_2}...,\vec{y_n} y1,y2...,yn 是线性空间 V V V 的新基。对线性空间 V V V 中的同一个元素（向量） v ⃗ \vec{v} v，它同时可以由旧基和新基以不同的坐标进行线性表示，即：
[ x 1 ⃗ , x 2 ⃗ , . . . , x n ⃗ ] [ k 1 k 2 : k n ] = [ y 1 ⃗ , y 2 ⃗ , . . . , y n ⃗ ] [ k 1 ′ k 2 ′ : k n ′ ] \begin{bmatrix}\vec{x_1},\vec{x_2},...,\vec{x_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}k_1 \\k_2 \\: \\k_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{y_1},\vec{y_2},...,\vec{y_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}k_1' \\k_2' \\: \\k_n'\end{bmatrix} [x1,x2,...,xn] k1k2:kn =[y1,y2,...,yn] k1′k2′:kn′
由此可以得到（这里已经给出了基变换、不同基下的坐标变换）：
[ k 1 k 2 : k n ] = [ x 1 ⃗ , x 2 ⃗ , . . . , x n ⃗ ] − 1 [ y 1 ⃗ , y 2 ⃗ , . . . , y n ⃗ ] [ k 1 ′ k 2 ′ : k n ′ ] \begin{bmatrix}k_1 \\k_2 \\: \\k_n\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{x_1},\vec{x_2},...,\vec{x_n}\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}\vec{y_1},\vec{y_2},...,\vec{y_n}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}k_1' \\k_2' \\: \\k_n'\end{bmatrix} k1k2:kn =[x1,x2,...,xn]−1[y1,y2,...,yn] k1′k2′:kn′
我们把中间的矩阵取出来：
[ x 1 ⃗ , x 2 ⃗ , . . . , x n ⃗ ] − 1 [ y 1 ⃗ , y 2 ⃗ , . . . , y n ⃗ ] \begin{bmatrix}\vec{x_1},\vec{x_2},...,\vec{x_n}\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix}\vec{y_1},\vec{y_2},...,\vec{y_n}\end{bmatrix} [x1,x2,...,xn]−1[y1,y2,...,yn]
称为过渡矩阵 C C C（过渡矩阵一定可逆）；
另一种定义是（新基可以由旧基的线性组合来进行线性表示，即右乘过渡矩阵）：
[ y 1 ⃗ , y 2 ⃗ , . . . , y n ⃗ ] = [ x 1 ⃗ , x 2 ⃗ , . . . , x n ⃗ ] C \begin{bmatrix}\vec{y_1},\vec{y_2},...,\vec{y_n}\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}\vec{x_1},\vec{x_2},...,\vec{x_n}\end{bmatrix}C [y1,y2,...,yn]=[x1,x2,...,xn]C
后面会学到，线性变换是抽象的，矩阵则是这一抽象的具象表示；线性空间中的元素（向量）是抽象的，坐标则是这一抽象的具象表示。一个线性变换作用于一个向量，具象化为一个矩阵乘以一个坐标，因此当涉及到矩阵时，我们要明白矩阵作用的是向量的坐标而不是向量本身。对于线性空间中的同一个向量，如果线性空间的基改变了，该向量的坐标一定会改变；经由上述推理过程，利用过渡矩阵的形式，该向量的坐标变换可以表示为：
[ k 1 k 2 : k n ] = C [ k 1 ′ k 2 ′ : k n ′ ] ⟶ [ k 1 ′ k 2 ′ : k n ′ ] = C − 1 [ k 1 k 2 : k n ] \begin{bmatrix}k_1 \\k_2 \\: \\k_n\end{bmatrix}=C \begin{bmatrix}k_1' \\k_2' \\: \\k_n'\end{bmatrix} \longrightarrow \begin{bmatrix}k_1' \\k_2' \\: \\k_n'\end{bmatrix}=C^{-1} \begin{bmatrix}k_1 \\k_2 \\: \\k_n\end{bmatrix} k1k2:kn =C k1′k2′:kn′ ⟶ k1′k2′:kn′ =C−1 k1k2:kn
可以看到旧坐标等于过渡矩阵乘以新坐标，即 x = C x ′ ⇔ x ′ = C − 1 x \boldsymbol{x} = C\boldsymbol{x}' \Leftrightarrow \boldsymbol{x}' = C^{-1}\boldsymbol{x} x=Cx′⇔x′=C−1x.