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数字信号处理Python示例（7）生成复数指数函数

news 2024/11/7 8:02:47

文章目录

前言
一、复指数函数的定义
二、复指数函数的应用
三、生成复指数函数的Python代码
四、仿真结果及分析
写在后面的话

前言

前面提到过指数函数有两种类型：实指数函数和复指数函数。在前面的示例中也介绍了实指数函数，这篇文件给出复指数函数的Python代码与仿真，并对仿真结果进行了详细的分析。

一、复指数函数的定义

复指数函数是指以复数为指数的指数函数，通常表示为 e^z，其中 z 是一个复数，可以写作 z = x + yi，其中 x 和 y 是实数，i 是虚数单位，满足i² = -1。

根据欧拉公式，复指数函数可以定义为：
e^z = e^(x+yi) = e^x *e^yi = e^x *(cos(y) + sin(y)*i)
这里， e^x 是实数指数函数，而 cos(y) + sin(y)*i是复数的三角形式。

二、复指数函数的应用

复指数函数在信号处理、量子物理、电子工程等领域有广泛的应用，特别是在描述周期性现象和波动时。例如，在信号处理中，复指数函数扮演着基础和核心的角色，常用于表示正交正弦波和余弦波的和信号，简化了信号的数学表示和处理，是理解和应用DSP概念的关键工具。

三、生成复指数函数的Python代码

生成两个复数指数信号 x_1(t) = e^(jΩt) 和 x_2(t) = e^(-jΩt)。这里信号的频率固定为 f = 5 Hz。信号生成后，提取两个信号的幅度和相位。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 设定参数
f = 5  # 频率为5 Hz
omega = 2 * np.pi * f  # 角频率 ω = 2πf
t = np.linspace(0, 1, 1000)  # 生成时间向量，从0到1秒，共1000个点# 生成两个复数指数信号
x_1 = np.exp(1j * omega * t)  # x_1(t) = e^(jΩt)
x_2 = np.exp(-1j * omega * t)  # x_2(t) = e^(-jΩt)# 提取信号的幅度和相位
amplitude_x_1 = np.abs(x_1)  # x_1的幅度
phase_x_1 = np.angle(x_1)  # x_1的相位amplitude_x_2 = np.abs(x_2)  # x_2的幅度
phase_x_2 = np.angle(x_2)  # x_2的相位# 绘制幅度和相位
plt.figure(figsize=(12, 6))# 绘制x_1的波形、振幅和相位
plt.subplot(3, 2, 1)
plt.plot(t, x_1)
plt.title("x_1的波形")
plt.xlabel("时间 (s)")
plt.ylabel("幅度")plt.subplot(3, 2, 3)
plt.plot(t, amplitude_x_1)
plt.title("x_1的振幅")
plt.xlabel("时间 (s)")
plt.ylabel("振幅")plt.subplot(3, 2, 5)
plt.plot(t, phase_x_1)
plt.title("x_1的相位")
plt.xlabel("时间 (s)")
plt.ylabel("相位 (rad)")# 绘制x_2的波形、振幅和相位
plt.subplot(3, 2, 2)
plt.plot(t, x_2)
plt.title("x_2的波形")
plt.xlabel("时间 (s)")
plt.ylabel("幅度")plt.subplot(3, 2, 4)
plt.plot(t, amplitude_x_2)
plt.title("x_2的振幅")
plt.xlabel("时间 (s)")
plt.ylabel("振幅")plt.subplot(3, 2, 6)
plt.plot(t, phase_x_2)
plt.title("x_2的相位")
plt.xlabel("时间 (s)")
plt.ylabel("相位 (rad)")# 使用tight_layout自动调整子图参数，避免标签之间的重叠
plt.tight_layout()  
# 在所有子图上添加网格线
plt.grid(True)
# 显示绘制的图像
plt.show()

四、仿真结果及分析

以下是执行代码后画图的结果。

在这里插入图片描述

图中展示了两个复数指数信号 x1(t) 和x2(t)的波形、振幅和相位随时间的变化。具体来说：

（1）波形。子图一和二分别展示了x1(t) 和 x2 (t)的波形，包括实部和虚部。可以看出，这两个复指数信号是正弦和余弦波的组合。

（2）振幅。子图三和四分别展示了x1(t) 和x2(t) 的振幅随时间的变化。对于x1(t) 和x2(t)，幅度始终为1。这是因为复数指数信号x1(t) = e^(jΩt) 的幅度由 x1(t) 的模 = cos^2(Ωt) + sin^2(Ωt) = 1 给出。同样，信号 x2(t) = e^(-jΩt) 的幅度由 x2(t) 的模 = cos^2(Ωt) + sin^2(Ωt) = 1 给出。因此，无论时间 t如何变化，这两个信号的幅度都是一条水平线。

（3）相位。子图五和六分别展示了x1(t) 和x2(t) 的相位随时间的变化。x1(t) 的相位随时间线性增加，从0开始，最大值接近2π，然后又回到0，呈周期变化。这表明信号在单位圆上顺时针旋转。x2(t) 的相位随时间线性减少，从0开始，最小值接近−2π，然后又回到0，呈周期变化。这表明信号在单位圆上逆时针旋转。

这两个信号是彼此的共轭信号，具有相同的幅度但相位相差π。在实际应用中，这样的信号常用于描述正反两个方向的波动或振动，例如在电磁波的传播中。