高等数学习题练习-函数的连续性

这道题目是关于函数连续性的条件。题目问的是函数 \( f(x) \) 在点 \( x_n \) 处有定义，是 \( f(x) \) 在点 \( x_n \) 连续的什么条件。

函数在某点连续的定义是：如果函数在该点有定义，并且该点的函数值等于函数在该点的极限值，则称函数在该点连续。

因此，函数在点 \( x_n \) 处有定义是函数在该点连续的必要条件，但不是充分条件。因为即使函数在该点有定义，如果函数在该点的极限不存在或者极限值不等于函数值，函数仍然不连续。

所以，正确答案是 B. 必要条件。

这道题目是关于函数连续性的。给定的函数是分段函数：

\[ f(x) = \begin{cases} 
ax, & x \geq 2 \\
1, & x < 2 
\end{cases} \]

为了使函数在 \( x = 2 \) 处连续，函数在 \( x = 2 \) 处的左极限和右极限必须等于函数在 \( x = 2 \) 处的值。由于 \( x < 2 \) 时函数值为 1，因此左极限为 1。为了使函数在 \( x = 2 \) 处连续，我们需要右极限也等于 1，即 \( a \cdot 2 = 1 \)。

解这个方程得到 \( a = \frac{1}{2} \)。

因此，正确答案是 B. \( \frac{1}{2} \)。

这道题目是判断题，内容是：“若 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处连续，则 \( f(x) \) 在点 \( x_0 \) 处可导。”

这个陈述是错误的。函数在某点连续是该点可导的必要条件，但不是充分条件。也就是说，一个函数在某点连续，不一定意味着它在该点可导。可导意味着函数在该点不仅有定义，而且其图形在该点有切线，即函数在该点的极限存在且等于函数值，并且函数在该点的导数存在。

因此，正确答案是“错”。