Leetcode 剑指 Offer II 100.三角形最小路径和

题目难度: 中等

原题链接

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题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

• 输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
• 输出：11
• 解释：如下面简图所示：

   23 46 5 7
4 1 8 3

自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

• 输入：triangle = [[-10]]
• 输出：-10

提示：

• 1 <= triangle.length <= 200
• triangle[0].length == 1
• triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1
• -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

进阶：

• 你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题吗？

题目思考

1. 如何优化算法复杂度?

解决方案

• 分析题目, 每一步只能移动到下一行中相邻的结点上, 我们可以利用这一点, 根据上一行下标 i 的最小路径和来更新当前行下标 i 和 i+1 的最小路径和
• 显然这就是动态规划的思路:
  • 设 dp[r][i] 代表第 r 行第 i 个下标的最小路径和
  • 初始化 dp[0][0] = triangle[0][0], 其他值全是 inf, 表示开始时只有起点的路径和确定
  • 然后进行状态转移, 对于第 r 行的第 i 个下标: dp[r][i] = triangle[r][i]+min(dp[r-1][i-1],dp[r][i] (如果 r 或 i 为 0, 则相应的 r-1 或 c-1 的 dp 值就是 inf, 表示不能从该方向转移而来)
  • 这样最后一行的最小 dp 值就代表整个三角形的最小路径和
• 这里可以额外进行一些优化, 将二维 dp 数组优化成一维, 这样就可以满足题目的进阶要求
• 具体做法就是只存储前一行和当前行的 dp 值, 记为 pdp 和 dp, 由于最后一行元素数目为 n, 所以整体空间复杂度就是 O(n)
• 然后在计算第 r 行的 dp 值时, 遍历 pdp, 根据 pdp[i] 的值, 更新 dp[i]和 dp[i+1]
• 计算完毕后, 再将 dp 赋值给 pdp, 用于下一行的计算
• 下面的代码有详细的注释, 方便大家理解

复杂度

• 时间复杂度 O(N^2): 需要两重循环求 DP 值
• 空间复杂度 O(N): 最多使用长度为 N 的 dp 数组

代码

class Solution:def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:### 动态规划+滚动数组n = len(triangle)# pdp存储上一行的最小路径, 初始化为第0行pdp = triangle[0]for r in range(1, n):# 初始化当前行的最小路径为+infdp = [float("inf")] * len(triangle[r])for i in range(len(pdp)):# 状态转移, 上一行的下标i可以移动到i或者i+1, 更新当前行对应下标的最小路径和dp[i] = min(dp[i], triangle[r][i] + pdp[i])dp[i + 1] = min(dp[i + 1], triangle[r][i + 1] + pdp[i])pdp = dp# 最终结果就是最后一行的最小路径和return min(pdp)

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