（续）解的存在唯一性定理
内容来源
常微分方程(第四版) (王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松) 高等教育出版社
之前写了存在唯一性定理的证明
这篇笔记补充了证明中所采用的逐步逼近法的一个例子
建议先读一阶微分方程的解的存在唯一性定理
误差估计
第 n n n 次近似解 φ n ( x ) \varphi_n(x) φn(x) 和真正解 φ ( x ) \varphi(x) φ(x) 的误差估计式如下
∣ φ n ( x ) − φ ( x ) ∣ ⩽ M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 \left|\varphi_n(x)-\varphi(x)\right|\leqslant\frac {ML^n}{(n+1)!}h^{n+1} ∣φn(x)−φ(x)∣⩽(n+1)!MLnhn+1
具体怎么来的请参看之前的笔记
例
方程 y ′ = x 2 + y 2 y'=x^2+y^2 y′=x2+y2 定义在矩形域 R : − 1 ⩽ x ⩽ 1 , − 1 ⩽ y ⩽ 1 R:-1\leqslant x\leqslant1,-1\leqslant y\leqslant1 R:−1⩽x⩽1,−1⩽y⩽1 上，试利用存在唯一性定理确定经过点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) 的解的存在区间，并求在此区间上与真正解的误差不超过 0.05 0.05 0.05 的近似解的表达式
解
f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=x^2+y^2 f(x,y)=x2+y2 在 R R R 上的利普希茨常数可以取为 2 2 2 ，因为
∣ ∂ f ∂ y ∣ = ∣ 2 y ∣ ⩽ 2 = L \left|\frac{\partial f}{\partial y}\right|=|2y|\leqslant 2=L ∂y∂f =∣2y∣⩽2=L
a a a 和 b b b 表示初值点满足条件的领域大小，即
{ ∣ x − x 0 ∣ ⩽ a , ∣ y − y 0 ∣ ⩽ b } ∈ R \{|x-x_0|\leqslant a,|y-y_0|\leqslant b\}\in R {∣x−x0∣⩽a,∣y−y0∣⩽b}∈R
所以 a = b = 1 a=b=1 a=b=1
M = max ( x , y ) ∈ R ∣ f ( x , y ) ∣ = 2 , h = min ( a , b M ) = 1 2 M=\max_{(x,y)\in R} |f(x,y)|=2,h=\min(a,\frac{b}{M})=\frac{1}{2} M=(x,y)∈Rmax∣f(x,y)∣=2,h=min(a,Mb)=21
先根据误差算出要求第几次近似解
M L n ( n + 1 ) ! h n + 1 = 2 ⋅ 2 n ( n + 1 ) ! ( 1 2 ) n + 1 = 1 ( n + 1 ) ! ⩽ 0.05 \frac{ML^n}{(n+1)!}h^{n+1}= \frac{2\cdot2^n}{(n+1)!}\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} =\frac{1}{(n+1)!} \leqslant0.05 (n+1)!MLnhn+1=(n+1)!2⋅2n(21)n+1=(n+1)!1⩽0.05
解得 n ⩾ 3 n\geqslant3 n⩾3
然后求近似解，上篇笔记中构造的皮卡逐步逼近序列如下
{ φ 0 ( x ) = y 0 φ n ( x ) = y 0 + ∫ x 0 x f ( t , φ n − 1 ( t ) ) d t \begin{cases} \varphi_0(x)=y_0\\ \varphi_n(x)=y_0+\int^x_{x_0}f(t,\varphi_{n-1}(t))\mathrm{d}t \end{cases} {φ0(x)=y0φn(x)=y0+∫x0xf(t,φn−1(t))dt
所以
φ 0 ( x ) = 0 φ 1 ( x ) = 0 + ∫ x 0 x ( t 2 + 0 2 ) d t = x 3 3 φ 2 ( x ) = 0 + ∫ x 0 x [ t 2 + ( t 3 3 ) 2 ] d t = x 3 3 + x 7 63 φ 3 ( x ) = 0 + ∫ x 0 x [ t 2 + ( x 3 3 + x 7 63 ) 2 ] d t = x 3 3 + x 7 63 + 2 x 11 2079 + x 15 59535 \begin{align*} &\varphi_0(x)=0\\ &\varphi_1(x)=0+\int^x_{x_0}(t^2+0^2)\mathrm{d}t=\frac{x^3}{3}\\ &\varphi_2(x)=0+\int^x_{x_0}\left[ t^2+\left(\frac{t^3}{3}\right)^2 \right]\mathrm{d}t=\frac{x^3}{3}+\frac{x^7}{63}\\ &\varphi_3(x)=0+\int^x_{x_0}\left[ t^2+\left(\frac{x^3}{3}+\frac{x^7}{63}\right)^2 \right]\mathrm{d}t=\frac{x^3}{3}+\frac{x^7}{63}+\frac{2x^{11}}{2079} +\frac{x^{15}}{59535}\\ \end{align*} φ0(x)=0φ1(x)=0+∫x0x(t2+02)dt=3x3φ2(x)=0+∫x0x[t2+(3t3)2]dt=3x3+63x7φ3(x)=0+∫x0x[t2+(3x3+63x7)2]dt=3x3+63x7+20792x11+59535x15
φ 3 ( x ) \varphi_3(x) φ3(x) 就是所求近似解，在 − 1 2 ⩽ x ⩽ 1 2 -\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{1}{2} −21⩽x⩽21 上，这个解与真正解的误差不会超过 0.05 0.05 0.05
近似解的存在区间为 [ x 0 − h , x 0 + h ] [x_0-h,x_0+h] [x0−h,x0+h]