（五）若使用LQR控制小车倒立摆，该如何对小车和摆杆的动力学方程线性化？哪些变量是可以进行简化的，线性化后的状态空间方程应该怎么列写

写在前面：

关于lqr控制的讲解，可以观看如下三个视频：

2. LQR数学公式理解_哔哩哔哩_bilibili

如何感性地理解LQR控制？_哔哩哔哩_bilibili

LQR简介与使用_哔哩哔哩_bilibili

正文：

在之前系列的文章中我们已经得出

小车的运动方程：

摆杆的运动方程：

q≈0的情况下对于sinq和cosq的简化大家应该不陌生，至于

为什么忽略，chatgpt给出的答案如下：

于是线性化后：

状态向量定义为：

列写状态空间表达式：

即：

输出方程为：（我们此处输出量定义为状态量）

值得一提的是，我们通常使用 LQR 控制器来稳定小车倒立摆系统，是假设摆杆的位置在 q=0°附近（垂直向上），即倒立平衡位置。

然而，如果初始角度为 q=180°（摆杆倒挂），也就是系统在自然平衡位置（摆杆垂直向下），LQR 控制器并不能直接从这个位置将摆杆控制到 q=0°附近。

所以本次仿真的初始状态会让q设置在0左右，若要实现倒立摆从自然平衡位置摆动到倒立平衡位置，还需要用摆荡控制等非线性控制策略将摆杆逐步摆动到倒立位置，再使用 LQR 来进行稳定控制。如果有可能的话，后续会考虑更新相关笔记。