Math Reference Notes: 常用求极限方法

极限是数学分析中的一个核心概念，用于描述函数或序列在某点或无穷远处的行为。不同的极限问题适合不同的方法求解。

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1. 直接代入法

适用情况：
对于简单的连续函数，若函数在某点连续且可计算，直接代入该点即可求得极限。

例子：
$$\underset{x\to 2}{\lim }(x^2-3x+5)$$
直接代入 $x=2$：
$$2^2-3\times 2+5=4-6+5=3$$
注意：
该方法只适用于函数在该点处连续的情况。若直接代入得到不确定形式（如 $0/0$），则需用其他方法。

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2. 因式分解法

适用情况：
当函数的形式为分式且代入自变量后出现 $0/0$ 的不确定形式时，因式分解可将分子和分母化简，消除零因子，重新求解极限。

例子：
$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-4}{x-2}$$
因式分解分子：
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$$
消去 $x-2$：
$$\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$$
注意：
因式分解法通常用于多项式分式，化简后再进行计算。

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3. 有理化法

适用情况：
当极限中出现根号且直接代入产生 $0/0$ 不确定形式时，可以通过有理化来简化问题。具体操作是对根号项乘以共轭项（即 $a+b$ 的共轭为 $a-b$）。

例子：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$
乘以共轭项：
$$\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}=\frac{x}{x(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}$$
代入 $x=0$，得：
$$\frac{1}{2}$$
注意：
有理化法适用于涉及根号的情况，尤其当代入自变量后出现 $0/0$ 形式时。

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4. 洛必达法则

适用情况：
洛必达法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty }{\infty }$ 的不确定形式。在分子和分母分别可导的情况下，可以通过对分子和分母求导来简化极限问题。

公式：
$$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}，\text{前提是}\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{存在}$$

例子：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}$$
直接代入会得到 $\frac{0}{0}$，使用洛必达法则对分子和分母求导：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x}{1}=1$$

注意：
洛必达法则只适用于不确定形式，且在某些情况下需要多次使用。确保每次导数的极限存在。

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5. 极限性质

适用情况：
利用极限的基本性质，可以将复杂问题拆分为多个简单的极限，再分别求解。

基本性质：

1. 和的极限：
   $$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)+g(x)]=\underset{x\to c}{\lim }f(x)+\underset{x\to c}{\lim }g(x)$$
2. 积的极限：
   $$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\cdot g(x)]=\underset{x\to c}{\lim }f(x)\cdot \underset{x\to c}{\lim }g(x)$$
3. 商的极限：
   $$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\lim }_{x\to c}f(x)}{{\lim }_{x\to c}g(x)},\text{前提是}\underset{x\to c}{\lim }g(x)\ne 0$$

例子：
$$\underset{x\to 1}{\lim }(x^2+3x)=\underset{x\to 1}{\lim }{x}^2+\underset{x\to 1}{\lim }3x=1^2+3\times 1=4$$

注意：
极限性质适用于拆分复杂表达式，并且要求参与运算的每个部分极限都存在。

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6. 逐项分析法

适用情况：
处理含有多个项或嵌套的复杂极限时，可以对每个项单独分析其极限，逐步简化问题。

例子：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x^2}{x+1}+\sin x\right)$$
可以分别求解两个部分的极限：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x+1}=\frac{0^2}{0+1}=0$$
$$\underset{x\to 0}{\lim }\sin x=0$$
所以，总的极限为 $0+0=0$。

注意：
适用于极限问题可以分解为多个相对独立的部分。

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7. 主导项分析法

适用情况：
对于函数中含有不同增长速率的项，主导项分析法通过找出主导项（即增长最快或最慢的项）来简化极限的计算。

例子：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^2+3x+1}{2x^2-x}$$
在 $x\to \infty$ 时，最高次项 $x^2$ 主导整个表达式。因此我们只考虑主导项：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^2}{2x^2}=\frac{5}{2}$$

注意：
主导项分析法适用于分式中不同次方的多项式，或指数、对数函数的组合。

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8. 夹逼定理

适用情况：
当一个函数被两个已知极限的函数夹住时，可以利用夹逼定理求解其极限。如果 $a_n\le b_n\le c_n$ 且 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n={\lim }_{n\to \infty }{c}_n=L$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=L$。

例子：
$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}$$
我们知道：
$$-1\le \sin \frac{1}{x}\le 1$$
所以：
$$-x^2\le x^2\sin \frac{1}{x}\le x^2$$
当 $x\to 0$，两边都趋于 0，根据夹逼定理，得：
$$\underset{x\to 0}{\lim }{x}^2\sin \frac{1}{x}=0$$

注意：
夹逼定理需要两个已知函数夹住待求极限的函数，且它们的极限相同。

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9. 泰勒展开法

适用情况：
对于可微函数，泰勒展开法通过将函数展开为多项式形式，借助展开的低阶项来近似求极限。

例子：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-x}{x^3}$$
使用泰勒展开：
$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)$$
代入得到：
$$\frac{\sin x-x}{x^3}=\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=-\frac{1}{6}+o(1)$$
所以极限为：
$$-\frac{1}{6}$$

注意：
泰勒展开法尤其适用于处理函数在某点附近的复杂极限问题。

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10. 变量替换法

适用情况：
有时通过引入新变量，可以将复杂问题转换为简单形式，从而简化极限的求解。

例子：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 2x}{x}$$
通过变量替换 $u=2x$，则当 $x\to 0$， $u\to 0$：
$$\underset{u\to 0}{\lim }\frac{\sin u}{u}\cdot 2=2$$

注意：
变量替换法通常通过新的自变量来简化极限表达式。