【数学二】中值定理、不等式与零点问题-中值定理-费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式、麦克劳林公式

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数$f(x)$具有二阶导数当$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时，$f(x)$的图形是凹的;当 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时,$f(X)$的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

中值定理

费马定理 设$f(x)$在$x=x_0$在某领域$U(x_0)$内有定义，$f(x_0)$是$f(x)$的一个极大(极小)值，又设$f^{{}^{\prime }}(x_0)$存在，则$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$

关键字：有定义、极值、极值点可导

罗尔定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，又设$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f^{{}^{\prime }}(\xi )=0$

关键字：闭区间连续、开区间可导、端点函数值相等、$f^{{}^{\prime }}(\xi )=0$、$\xi$为极值点

练习1：$f(x)与g(x)在[a,b]连续，在(a,b)内具有二阶导数，且在(a,b)内存在相等的最大值，又设f(a)=g(a)，f(b)=g(b)$。试证明：存在$\xi \in (a,b)使得f^{{}^{\prime \prime }}(\xi )=g^{{}^{\prime \prime }}(\xi )$

知识点：
1、罗尔定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，又设$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$，使$f^{{}^{\prime }}(\xi )=0$
2、费马定理 设$f(x)$在$x=x_0$在某领域$U(x_0)$内有定义，$f(x_0)$是$f(x)$的一个极大(极小)值，又设$f^{{}^{\prime }}(x_0)$存在，则$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$
3、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$。

证：$$\begin{gathered} 令\varphi (x)=f(x)-g(x)由题意f(a)=g(a)，f(b)=g(b)\Rightarrow \varphi (a)=\varphi (b)=0 \\ 由题意：f(x)与g(x)在(a,b)内存在相等的最大值，可设x_1\in (a,b),x_2\in (a,b)使 \\ \{\begin{array}{l}f(x_1)=ma{x}_{[a,b]}f(x)\\ \\ g(x_2)=ma{x}_{[a,b]}g(x)\\ \\ f(x_1)=g(x_2)\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\varphi (x_1)=f(x_1)-g(x_1)\ge 0\\ \\ \varphi (x_2)=f(x_2)-g(x_2)\le 0\end{array} \\ 1、若\varphi (x_1)=0或\varphi (x_2)=0,取\delta =x_1或x_2,有\varphi (\delta )=0 \\ 2、若\varphi (x_1)>0,\varphi (x_2)<0，由零点定理可知，存在一点\delta \in (x_1,x_2),使得\varphi (\delta )=0 \\ 综上可知：存在一点\delta \in (a,b)使得\varphi (\delta )=0 \\ 由\varphi (x)在[a,b]上有3个零点a,\delta ,b.在区间[a,\delta ]与[\delta ,b]用罗尔定理得： \\ 存在{\xi }_1\in (a,\delta )与{\xi }_2\in (\delta ,)使{\varphi }^{{}^{\prime }}({\xi }_1)={\varphi }^{{}^{\prime }}({\xi }_2)=0 \\ 存在一点\xi \in ({\xi }_1,{\xi }_2)\subset (a,b)使得{\varphi }^{{}^{\prime \prime }}(\xi )=0 \\ 即证：f^{{}^{\prime \prime }}(\xi )=g^{{}^{\prime \prime }}(\xi ) \end{gathered}$$

练习2：$设f(x)在闭区间[0,a]上连续，在开区间(0,a)内可导，且f(a)=0，证明必有一点\xi \in (0,a)，使得f(\xi )+\xi f^{{}^{\prime }}(\xi )=0$

证：$$\begin{gathered} 令\varphi (x)=xf(x)由题意可知：\varphi (x)在闭区间[0,a]上连续，在开区间(0,a)内可导，且\varphi (0)=\varphi (a)=0 \\ 由罗尔定理可知：至少存在一点\xi \in (0,a),使{\varphi }^{{}^{\prime }}(\xi )=0 \\ 即：f(\xi )+\xi f^{{}^{\prime }}(\xi )=0 \end{gathered}$$

拉格朗日中值定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$使$f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(\xi )(b-a)$

练习1：$设函数f(x)在[0,+\infty )上可导，且f(0)=0,{\lim }_{x\to \infty }f(x)=2$，证明：
$(1)存在a>0，使得f(a)=1;$
$(2)对(1)中的a，存在\xi \in (0,a)，使得f^{{}^{\prime }}(\xi )=\frac{1}{a}$

知识点:
1、定理(零点定理) 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，且$f(a)\cdot f(b)<0$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)，使f(\xi )=0$
2、 拉格朗日中值定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$使$f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(\xi )(b-a)$

证明：$$\begin{gathered} （1）令F(x)=f(x)-1,由题意可知F(x)在[0,+\infty )上连续， \\ 且F(0)=-1<0,F(+\infty )=\underset{x\to \infty }{\lim }F(x)=1 \\ 由零点定理可知：在(0,+\infty )存在一点a，使F(a)=0 \\ 即证：存在a>0，使得f(a)=1 \\ （2）由题意可知:f(x)在[0,a]连续且在(0,a)可导，由拉格朗日中值定理可知：存在一点\xi \in (0,a)，使f(a)-f(0)=f^{{}^{\prime }}(\xi )(a-0) \\ 用（1）的结果即证：对(1)中的a，存在\xi \in (0,a)，使得f^{{}^{\prime }}(\xi )=\frac{1}{a} \end{gathered}$$

练习2：设不恒为常数的函数$f(x)在闭区间[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$.证明：至少存在一点$\xi \in (a,b)，使得f^{{}^{\prime }}(\xi )>0$

知识点:
1、 拉格朗日中值定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$使$f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(\xi )(b-a)$

证：$$\begin{gathered} f(x)不恒为常数，则在(a,b)内存在一点d，使得f(d)\ne =f(a)=f(b) \\ 1、若f(d)>f(a)=f(b),f(x)在区间[a,d]上用拉格朗日中值定理得： \\ 存在一点{\xi }_1\in (a,d)，使得：f(c)-f(a)=f^{{}^{\prime }}({\xi }_1)(c-a) \\ 整理得：f^{{}^{\prime }}({\xi }_1)>0，取\xi ={\xi }_1 \\ 2、若f(d)<f(a)=f(b)，,f(x)在区间[d,b]上用拉格朗日中值定理得： \\ 存在一点{\xi }_2\in (d,b)，使得：f(b)-f(d)=f^{{}^{\prime }}({\xi }_2)(b-d) \\ 整理得：f^{{}^{\prime }}({\xi }_2)>0，取\xi ={\xi }_2 \\ 即证：至少存在一点\xi \in (a,b)，使得f^{{}^{\prime }}(\xi )>0 \end{gathered}$$

练习3：$设f(x)在[a,b]上二阶可导，f(a)=f(b)=0，且存在c\in (a,b)使f(c)<0$，证明：存在$\xi ,\eta \in (a,b)，使得f{}^{\prime }(\xi )<0,f{}^{\prime \prime }(\eta )>0$

知识点:
1、 拉格朗日中值定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点 $\xi \in (a,b)$使$f(b)-f(a)=f^{{}^{\prime }}(\xi )(b-a)$

证：$$\begin{gathered} f(x)在[a,c]上用拉格朗日中值定理可知：\exists \xi \in (a,c)，使：f^{{}^{\prime }}(\xi )=\frac{f(c)-f(a)}{c-a}<0 \\ f(x)在[c,b]上用拉格朗日中值定理可知：\exists {\xi }_1\in (c,b)，使：f^{{}^{\prime }}({\xi }_1)=\frac{f(b)-f(c)}{b-c}>0,{\xi }_1>\xi \\ {f}^{{}^{\prime }}(x)在[\xi ,{\xi }_1]上用拉格朗日中值定理可知：\exists \eta \in (\xi ,{\xi }_1)\subset (a,b)，使：f^{{}^{\prime \prime }}(\eta )=\frac{f^{{}^{\prime }}({\xi }_1)-f^{{}^{\prime }}(\xi )}{{\xi }_1-\xi }>0 \\ 即证：存在\xi ,\eta \in (a,b)，使得f{}^{\prime }(\xi )<0,f{}^{\prime \prime }(\eta )>0 \end{gathered}$$

柯西中值定理 设$f(x),g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g^{{}^{\prime }}(x)\ne 0,x\in (a,b)$，则至少存在一点$\xi \in (a,b)$使$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{{}^{\prime }}(\xi )}{g^{{}^{\prime }}(\xi )}$

练习1：设函数$f(x)$在闭区间$[0,1]$上连续，在开区间$(0,1)$内可导，证明：至少存在一个$\xi \in (0,1)，使得f^{{}^{\prime }}(\xi )=2\xi [f(1)-f(0)]$

证：$$\begin{gathered} 令g(x)=x^2可知g(x)在[0,1]上连续且在开区间(0,1)内可导 \\ f(x),g(x)在[0,1]应用柯西中值定理可知： \\ \exists \xi \in (0,1)，使：\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)}=\frac{f^{{}^{\prime }}(\xi )}{g^{{}^{\prime }}(\xi )} \\ 整理得：f^{{}^{\prime }}(\xi )=2\xi [f(1)-f(0)] \\ 即证：至少存在一个\xi \in (0,1)，使得f^{{}^{\prime }}(\xi )=2\xi [f(1)-f(0)] \end{gathered}$$

泰勒定理 设$f(x)$在闭区间$[a,b]$内有$n$阶连续的导数，在开区间$(a,b)$内有直到$n+1$阶导数，$x_0\in [a,b],x\in [a,b]$任意两点，则至少存在一点$\xi$介于$x_0与x$之间，使$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$称为拉格朗日余项，整个公式称为具有拉格朗日余项的n阶泰勒公式.

如果将定理的条件减弱为：设$f(x)$在$x=x_0$具有n阶导数，$x为点x_0$的充分小的领域内的任意一点，则有$f(x)=f(x_0)+\frac{f^{{}^{\prime }}(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$，其中$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$称为佩亚诺余项，这就是佩亚诺余项泰勒公式.

麦克劳林公式：$f(x)=f(0)+\frac{f^{{}^{\prime }}(0)}{1!}(x)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(0)}{2!}(x{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x{)}^n+R_n(x)$

常用函数x=0处带有佩亚诺余项泰勒公式：
$$\begin{gathered} 1)e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+o(x^n) \\ 2)\sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\cdots +(-1{)}^{2n-1}\frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}+o(x^{2n-1}) \\ 3)\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) \\ 4)\ln (x+1)=x-\frac{x^2}{2}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) \\ 5)(1+x{)}^m=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{x}^n+o(x^n) \end{gathered}$$

练习1：求$f(x)=e^x在x_0=-1$处具有拉格朗日余项的n阶泰勒公式？

知识点：$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\frac{e^{\xi }}{(n+1)!}(x{)}^{n+1}$

解 ：$$\begin{gathered} e^x=e^{-1}\cdot e^{x+1}=e^{-1}[1+(x+1)+\frac{1}{2!}(x+1{)}^2+\cdots +\frac{1}{n!}(x+1{)}^n+\frac{e^{\xi +1}}{(n+1)!}(x+1{)}^{n+1}] \\ 其中\xi 介于x与-1之间，x\in (-\infty ,+\infty ) \end{gathered}$$

练习2：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt[3]{\cos x}-1+x^2}{(2^x-1)\tan x}=$?

知识点：
1、$等价无穷小：a^x-1\sim x\ln a,\tan x\sim x$
2、$f(x)=f(0)+\frac{f^{{}^{\prime }}(0)}{1!}(x)+\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(0)}{2!}(x{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}(x{)}^n+o(x^n)$

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{\cos x}-1+x^2}{(2^x-1)\tan x}分母通过等价无穷小替换 \\ \Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{\cos x}-1+x^2}{x^2\ln 2} \\ 对分子使用麦克劳林公式 \\ （\sqrt[3]{\cos x}）=1+(\frac{1}{3}(\cos x{)}^{-\frac{2}{3}}\cdot (-\sin x))x+\frac{x^2}{2}(-\frac{4}{9}.(\cos x{)}^{-\frac{5}{3}}.(-\sin x{)}^2+\frac{1}{3}(\cos x{)}^{-\frac{2}{3}}\cdot (-\cos x))+o(x^2)=1-\frac{x^2}{6}++o(x^2) \\ \Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{\cos x}-1+x^2}{x^2\ln 2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{x^2}{6}++o(x^2)-1+x^2}{x^2\ln 2}=\frac{5}{6\ln 2} \end{gathered}$$