python 实现最小生成树 boruvka算法

最小生成树 boruvka算法介绍

Borůvka算法（也称为Borůvka-Sollin算法）是一种用于在加权无向图中找到最小生成树的贪心算法。这个算法由Otakar Borůvka在1926年提出，并且以其名字命名。Borůvka算法在并行计算中特别有用，因为它可以被有效地并行化。

Borůvka算法的基本思想是从图中每个顶点开始，构建一个只包含该顶点的“组件”，然后迭代地合并这些组件，直到只剩下一个组件，即整个图的最小生成树。

以下是Borůvka算法的基本步骤：

初始化：将每个顶点视为一个独立的组件。

迭代过程：对于每个组件，找到连接它到任何其他组件的最小权边（如果有的话）。如果有多个相等的最小权边，可以选择任意一个。

合并组件：将每个组件与通过其最小权边连接的其他组件合并。这可能会导致某些组件合并成更大的组件。

重复：重复步骤2和3，直到所有的顶点都在同一个组件中。

结果：当所有顶点都在同一个组件中时，这个组件就是图的最小生成树。

伪代码

function Boruvka(G)components := 将每个顶点视为一个组件while 存在多个组件for each 组件 Cmin_edge := nullmin_weight := ∞for each 邻接边 e = (C, D) 连接C和其他组件Dif e的权重 < min_weightmin_edge := emin_weight := e的权重if min_edge is not null合并组件C和min_edge连接的组件return 合并后的唯一组件（即最小生成树）

时间复杂度

Borůvka算法的时间复杂度依赖于图的顶点数n和边数m。在最坏的情况下，算法需要执行O(log n)次迭代（因为每次迭代至少使组件的数量减半），每次迭代中，对每个组件找到最小边需要O(m)时间（使用邻接表或邻接矩阵）。因此，总的时间复杂度是O(mlog n)。

优点和缺点

优点：

可以有效地并行化，适合并行计算环境。
在某些特定类型的图（如稀疏图）上表现良好。

缺点：

在最坏情况下的时间复杂度可能不如Kruskal或Prim算法。
对于边权重的分布特别敏感，如果所有边的权重都非常接近，可能需要更多的迭代。

总的来说，Borůvka算法是一种有趣且有用的算法，特别适用于需要并行处理或处理大型稀疏图的场景。

最小生成树 boruvka算法python实现样例

Boruvka算法是一种用于解决最小生成树问题的分治算法。它的基本思想是将图划分成多个连通子图，并在每个子图中找到连接两个子图的最小权重边。然后将所有找到的边合并成一个新的子图，并重复该过程，直到只剩下一个子图为止。

下面是用Python实现Boruvka算法的示例代码：

class Graph:def __init__(self, vertices):self.V = verticesself.graph = []def add_edge(self, u, v, w):self.graph.append([u, v, w])def find(self, parent, i):if parent[i] == i:return ireturn self.find(parent, parent[i])def union(self, parent, rank, x, y):xroot = self.find(parent, x)yroot = self.find(parent, y)if rank[xroot] < rank[yroot]:parent[xroot] = yrootelif rank[xroot] > rank[yroot]:parent[yroot] = xrootelse:parent[yroot] = xrootrank[xroot] += 1def boruvka(self):parent = []rank = []cheapest = []num_trees = self.Vwhile num_trees > 1:for i in range(self.V):parent.append(i)rank.append(0)cheapest = [-1] * self.Vfor i in range(len(self.graph)):u, v, w = self.graph[i]set1 = self.find(parent, u)set2 = self.find(parent, v)if set1 != set2:if cheapest[set1] == -1 or cheapest[set1][2] > w:cheapest[set1] = [u, v, w]if cheapest[set2] == -1 or cheapest[set2][2] > w:cheapest[set2] = [u, v, w]for node in range(self.V):if cheapest[node] != -1:u, v, w = cheapest[node]set1 = self.find(parent, u)set2 = self.find(parent, v)if set1 != set2:self.union(parent, rank, set1, set2)print(f"Edge {u}-{v} with weight {w}")num_trees -= 1cheapest = []graph = Graph(9)
graph.add_edge(0, 1, 4)
graph.add_edge(0, 7, 8)
graph.add_edge(1, 2, 8)
graph.add_edge(1, 7, 11)
graph.add_edge(2, 3, 7)
graph.add_edge(2, 8, 2)
graph.add_edge(2, 5, 4)
graph.add_edge(3, 4, 9)
graph.add_edge(3, 5, 14)
graph.add_edge(4, 5, 10)
graph.add_edge(5, 6, 2)
graph.add_edge(6, 7, 1)
graph.add_edge(6, 8, 6)
graph.add_edge(7, 8, 7)graph.boruvka()

这段代码实现了一个Graph类，其中包含了图的节点数和边的列表。使用add_edge方法添加边。

find方法和union方法分别用于查找节点的根节点和合并两个节点所在的集合。

boruvka方法是实现Boruvka算法的关键部分。它首先初始化节点的父节点和秩，并创建一个列表来存储每个节点到另一个子图的最小权重边。然后，在每次循环中，它遍历图中的所有边，找到连接两个不同子图的最小权重边，并将这个边的两个节点合并到同一个子图中。然后，它继续迭代直到只剩下一个子图。在每次找到最小边的过程中，还打印出找到的边的信息。

在上面的示例代码中，我们创建了一个包含9个节点的图，并添加了多个边。然后，调用boruvka方法来计算最小生成树，并打印出每个找到的边的信息。