成像基础 -- 焦距、物距、视野、画幅的数学公式及计算示例
焦距、物距、视野、画幅的数学公式及计算示例
本文将详细介绍焦距、物距、视野、画幅之间的数学公式关系，并通过一个实际计算示例说明如何计算全画幅相机的视野。
1. 基本概念
- 焦距（Focal Length, f f f）：镜头光学中心到成像平面的距离，通常以毫米（mm）为单位。焦距越短，视野越广，焦距越长，视野越窄。
- 物距（Object Distance, d o d_o do）：物体到镜头光学中心的距离，通常以米（m）或毫米（mm）为单位。
- 像距（Image Distance, d i d_i di）：成像平面（感光元件或胶片）到镜头光学中心的距离，通常以米（m）或毫米（mm）为单位。
- 视野（Field of View, FOV）：镜头成像的视角范围，可以是水平视野（Horizontal FOV, HFOV）、垂直视野（Vertical FOV, VFOV）或对角视野（Diagonal FOV, DFOV），以角度（度）为单位。
- 画幅（Sensor Size, S S S）：成像平面（感光元件）的尺寸，包括宽度、长度或对角线长度。
2. 镜头成像的基本公式
物距、像距和焦距之间的关系可以通过薄透镜成像公式表示：
1 f = 1 d o + 1 d i \frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i} f1=do1+di1
其中：
- f f f 是焦距
- d o d_o do 是物距
- d i d_i di 是像距
当物体距离较远时，物距 d o d_o do 很大，像距 d i d_i di 接近焦距 f f f。
3. 视野与画幅的关系
视野角度与画幅尺寸和焦距的关系如下：
- 水平视野（HFOV） 公式：
H F O V = 2 × arctan ( W 2 f ) HFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{W}{2f}\right) HFOV=2×arctan(2fW)
- 垂直视野（VFOV） 公式：
V F O V = 2 × arctan ( H 2 f ) VFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{H}{2f}\right) VFOV=2×arctan(2fH)
- 对角视野（DFOV） 公式：
D F O V = 2 × arctan ( D 2 f ) DFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{D}{2f}\right) DFOV=2×arctan(2fD)
其中：
- W W W 是感光元件的宽度
- H H H 是感光元件的高度
- D = W 2 + H 2 D = \sqrt{W^2 + H^2} D=W2+H2 是感光元件的对角线长度
- f f f 是镜头的焦距
4. 全画幅相机视野计算示例
假设我们有一台全画幅相机（36mm × 24mm），并使用一支焦距为50mm的镜头，计算其水平视野（HFOV）、垂直视野（VFOV）和对角视野（DFOV）。
已知信息
- 画幅尺寸：全画幅 36 mm × 24 mm 36 \, \text{mm} \times 24 \, \text{mm} 36mm×24mm
- 焦距：50mm
4.1 水平视野（HFOV）
水平视野的计算公式为：
H F O V = 2 × arctan ( W 2 f ) HFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{W}{2f}\right) HFOV=2×arctan(2fW)
代入数据：
H F O V = 2 × arctan ( 36 2 × 50 ) = 2 × arctan ( 0.36 ) HFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{36}{2 \times 50}\right) = 2 \times \arctan(0.36) HFOV=2×arctan(2×5036)=2×arctan(0.36)
计算得到：
H F O V ≈ 2 × 19.8 7 ∘ ≈ 39.7 4 ∘ HFOV \approx 2 \times 19.87^\circ \approx 39.74^\circ HFOV≈2×19.87∘≈39.74∘
因此，水平视野约为 39.7度。
4.2 垂直视野（VFOV）
垂直视野的计算公式为：
V F O V = 2 × arctan ( H 2 f ) VFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{H}{2f}\right) VFOV=2×arctan(2fH)
代入数据：
V F O V = 2 × arctan ( 24 2 × 50 ) = 2 × arctan ( 0.24 ) VFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{24}{2 \times 50}\right) = 2 \times \arctan(0.24) VFOV=2×arctan(2×5024)=2×arctan(0.24)
计算得到：
V F O V ≈ 2 × 13.5 3 ∘ ≈ 27.0 6 ∘ VFOV \approx 2 \times 13.53^\circ \approx 27.06^\circ VFOV≈2×13.53∘≈27.06∘
因此，垂直视野约为 27.1度。
4.3 对角视野（DFOV）
首先计算感光元件的对角线长度：
D = 3 6 2 + 2 4 2 = 1296 + 576 = 1872 ≈ 43.27 mm D = \sqrt{36^2 + 24^2} = \sqrt{1296 + 576} = \sqrt{1872} \approx 43.27 \, \text{mm} D=362+242=1296+576=1872≈43.27mm
对角视野的计算公式为：
D F O V = 2 × arctan ( D 2 f ) = 2 × arctan ( 43.27 2 × 50 ) = 2 × arctan ( 0.4327 ) DFOV = 2 \times \arctan\left(\frac{D}{2f}\right) = 2 \times \arctan\left(\frac{43.27}{2 \times 50}\right) = 2 \times \arctan(0.4327) DFOV=2×arctan(2fD)=2×arctan(2×5043.27)=2×arctan(0.4327)
计算得到：
D F O V ≈ 2 × 23.3 6 ∘ ≈ 46.7 2 ∘ DFOV \approx 2 \times 23.36^\circ \approx 46.72^\circ DFOV≈2×23.36∘≈46.72∘
因此，对角视野约为 46.7度。
5. 总结
通过以上计算，可以得出这台全画幅相机使用50mm镜头时的视野：
- 水平视野（HFOV）：39.7度
- 垂直视野（VFOV）：27.1度
- 对角视野（DFOV）：46.7度
这些计算方法在摄影设备选择和镜头设计中有广泛应用。