【数学二】一元函数微分学-导数的计算-对数求导法、 参数方程确定得函数求导法

考试要求

1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量,理解函数的可导性与连续性之间的关系.
2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.
3、了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.
4、会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.
5、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，了解并会用柯西中值定理.
6、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.
7、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法, 掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.
8、会用导数判断函数图形的凹凸性(注:在区间(a.b)内,设函数$f(x)$具有二阶导数当$f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时，$f(x)$的图形是凹的;当 $f^{{}^{\prime \prime }}(x)>0$时,$f(X)$的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线,会描绘函数的图形.
9、了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.

导数的计算

对数求导法

对数求导法是将函数等式两边同时取对数，化为隐函数形式，再按照隐函数求导法求导数。
幂指函数$y=f(x{)}^{g(x)}$的求导数，常用下面两种方法：
1、对数求导法
两边取自然对数得$\ln y=g(x)\ln f(x)$可以使用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$
2、复合函数求导法
将函数取指数变形为$y=f(x{)}^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ ，再按照复合函数求导法即可。

练习1：设$y=(\sin x{)}^x，求\frac{dy}{dx}$?

知识点：
幂指函数$y=f(x{)}^{g(x)}$的求导数，常用下面两种方法：
1、对数求导法
两边取自然对数得$\ln y=g(x)\ln f(x)$可以使用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$
2、复合函数求导法
将函数取指数变形为$y=f(x{)}^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ ，再按照复合函数求导法即可。

解：$$\begin{gathered} 方法一：对数求导法 \\ F(x,y)=\ln y-x\ln \sin x \\ {F}_x^{{}^{\prime }}=-(\ln \sin x+x\frac{1}{\sin x}\cos x)，F_y^{{}^{\prime }}=\frac{1}{y} \\ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}=-\frac{-(\ln \sin x+x\frac{1}{\sin x}\cos x)}{\frac{1}{y}} \\ \Rightarrow =(-(\ln \sin x+x\frac{1}{\sin x}\cos x))\cdot y=(\ln \sin x+x\cot x)\cdot (\sin x{)}^x \\ 方法二：复合函数求导法 \\ y=(\sin x{)}^x=e^{x\ln \sin x} \\ \frac{dy}{dx}=e^{x\ln \sin x}(\sin x+x\frac{1}{\sin x}\cos x) \\ \frac{dy}{dx}=(\sin x{)}^x(\sin x+x\cot x) \end{gathered}$$

练习2：设$y=(x-1{)}^2\sqrt[3]{\frac{(x+1)(x^2-3)}{(1+4x{)}^2}}，求\frac{dy}{dx}$?

知识点：
幂指函数$y=f(x{)}^{g(x)}$的求导数，常用下面两种方法：
1、对数求导法
两边取自然对数得$\ln y=g(x)\ln f(x)$可以使用隐函数求导公式$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x^{{}^{\prime }}}{F_y^{{}^{\prime }}}$

解：$$\begin{gathered} \ln y=\ln ((x-1{)}^2\sqrt[3]{\frac{(x+1)(x^2-3)}{(1+4x{)}^2}})=2\ln (x-2)+\frac{1}{3}(\ln (x+1)(x^2-3)-2\ln (1+4x)) \\ =2\ln (x-2)+\frac{1}{3}(\ln (x+1)+\ln (x^2-3)-2\ln (1+4x)) \\ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x-2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^2-3}-\frac{8}{1+4x}) \\ \Rightarrow \frac{dy}{dx}=(x-1{)}^2\sqrt[3]{\frac{(x+1)(x^2-3)}{(1+4x{)}^2}}[\frac{2}{x-2}+\frac{1}{3}(\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^2-3}-\frac{8}{1+4x})] \end{gathered}$$

参数方程确定得函数求导法

设$y=y(x)$是由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$所确定的函数，其中$\phi (t)和\psi (t)$都可导，且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0$，则由复合函数和反函数求导法则可推出$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\psi }^{{}^{\prime }}(t)}{{\phi }^{{}^{\prime }}(t)}$$

练习1：设$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=t-\ln (1+t)\\ y=t^3+t^2\end{array}$所确定，求$\frac{dy}{dx}$

解：$$\begin{gathered} \frac{dy}{dx}=\frac{(t^3+t^2{)}^{{}^{\prime }}}{(t-\ln (1+t){)}^{{}^{\prime }}}=\frac{3t^2+2t}{1-\frac{1}{1+t}} \\ \frac{dy}{dx}=3t^2+5t+2 \end{gathered}$$

练习2：设$y=y(x)$由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\arctan t\\ y=\ln \sqrt{1+t^2}\end{array}$上对应于$t=1$的点处的法线方程？

知识点：
1、如果$f^{{}^{\prime }}(x_0)\ne 0$，则曲线$y=f(x)在点(x_0，f(x_0))$此处的法线方程为：$y-f(x_0)=-\frac{1}{f^{{}^{\prime }}(x_0)}(x-x_0)$
2、设$y=y(x)$是由参数方程$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$所确定的函数，其中$\phi (t)和\psi (t)$都可导，且${\phi }^{{}^{\prime }}(t)\ne 0$，则由复合函数和反函数求导法则可推出$$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{{\psi }^{{}^{\prime }}(t)}{{\phi }^{{}^{\prime }}(t)}$$

解： $$\begin{gathered} t=1时，x=\arctan 1=\frac{\pi }{4},y=\frac{\ln 2}{2} \\ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{t}{1+t^2}}{\frac{1}{1+t^2}}=t\Rightarrow \frac{dy}{dx}{|}_{t=1}=1 \\ 法线：y-\frac{\ln 2}{2}=-1(x-\frac{\pi }{4})\Rightarrow y=-x+\frac{\pi }{4}+\frac{\ln 2}{2} \end{gathered}$$