我谈巴特沃斯滤波器

写在前面的内容

先看看冈萨雷斯对巴特沃斯滤波器的介绍。
低通


高通


带阻

带通


第一个问题，截止频率处的增益。

• 0.5的增益是不是陡度小了？
• 巴特沃斯是一家，这些滤波器截止频率处的增益谁和谁都不一样，甚者带通、带阻中上下截止频率处的增益都不一样，离谱了。

第二个问题，高通滤波器与低通滤波器的关系。若以巴特沃斯幅值平方表示，那这个公式就正好与下面频率变换的公式的碰上了，也许冈萨雷斯这里想当然了。

第三个问题，将带通、带阻滤波与低通、高通滤波割裂开来，它们都是选频滤波器。

我谈巴特沃斯滤波器

巴特沃斯滤波器的幅频响应

巴特沃斯模拟低通滤波器一般由幅值平方函数定义。幅度响应 $|H(j\omega )|$ 是传递函数的模，可以表示为：

$$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2N}}}$$

1. 通带内：

   • 当 $\omega \ll {\omega }_c$ 时， ${\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2N}\approx 0$，因此：
     $$|H(j\omega )|\approx 1$$
   • 在通带内，滤波器的增益接近 1（0 dB）。

2. 截止频率处：

   • 当 $\omega ={\omega }_c$ 时：
     $$|H(j{\omega }_c)|=\frac{1}{\sqrt{1+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0.707$$
   • 在截止频率处，增益为$-3$dB。

3. 阻带内：

   • 当 $\omega \gg {\omega }_c$ 时， ${\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^{2N}$ 很大，因此：
     $$|H(j\omega )|\approx \frac{1}{{\left(\frac{\omega }{{\omega }_c}\right)}^N}={\left(\frac{{\omega }_c}{\omega }\right)}^N$$
   • 在阻带内，增益迅速下降，且随着频率的增加，衰减速度与阶数 $N$ 成正比。

总结：巴特沃斯模拟低通滤波器，在截止频率处幅值从最大值下降到它的 0.707，而不是0.5。

频率变换

巴特沃斯各种滤波器

在语音信号处理中，相位信息的重要性通常不如幅度信息显著。这是因为人类的听觉系统对幅度谱特征更加敏感，尤其是对短时幅度谱特征的响应更为明显。这意味着，即使语音信号的相位发生变化，只要幅度谱特征保持相对稳定，人耳往往难以察觉到明显的差异。but在图像处理中，线性相位特征相当重要。

所以下面是在幅值响应的基础构造零相位滤波器。

看到了吧，无论什么情况，截止频率处的增益都为经典的$-3$dB。另外，这个值也保证陡度。

另一点，振铃在信号处理中不重要，信号处理只想硬件上更加逼近理想；图像处理中专注的是振铃，物理可不可实现不care，所以不用反复强调。反正我被坑得很惨。

例子

最后，举一个图像处理的例子。