【数学二】极限的计算- 等价无穷小替换、洛必达法则求极限

考试要求

1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系.

2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3、理解复合函数及分段函数的概念、了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形、了解初等函数的概念。
5、理解极限的概念、理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系.
6、掌握极限的性质及四则运算法则.
7、.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8、理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法,会用等价无穷小量求极限.
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.

等价无穷小替换

等价无穷小替换定理 设$f_1(x)\sim f_2(x)，g_1(x)\sim g_2(x)，且\lim \frac{f_2(x)}{g_2(x)}$存在，则$$\lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)}=\lim \frac{f_2(x)}{g_2(x)}$$

TIPS:

1、对分子或分母中的一个或几个无穷小因子作等价替换;
2、推广:$$\begin{gathered} \lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)}=\lim \frac{f_2(x)}{g_2(x)}=\lim \frac{f_1(x)}{g_2(x)}=\lim \frac{f_2(x)}{g_1(x)} \\ \lim \frac{f_1(x)h(x)}{g_1(x)}=\frac{f_2(x)h(x)}{g_2(x)}=\frac{f_1(x)h(x)}{g_2(x)}=\frac{f_2(x)h(x)}{g_1(x)} \\ \lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)h(x)}=\frac{f_2(x)}{g_2(x)h(x)}=\frac{f_1(x)}{g_2(x)h(x)}=\frac{f_2(x)}{g_1(x)h(x)} \\ \lim f_1(x)h(x)=\lim f_2(x)h(x) \end{gathered}$$
3、和差关系在满足一定条件下可以作等价替换：$$\begin{gathered} 若\lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)}=A\ne 1,则\lim [f_1(x)-g_1(x)]=\lim [f_2(x)-g_2(x)] \\ 若\lim \frac{f_1(x)}{g_1(x)}=A\ne -1,则\lim [f_1(x)+g_1(x)]=\lim [f_2(x)+g_2(x)] \end{gathered}$$

常用等价无穷小：当$x\to 0$ $$\begin{gathered} \sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x \\ 1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2,\ln (1+x)\sim x,e^x-1\sim x,a^x-1\sim x\ln a \\ (1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x(\alpha \ne 0)，\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}\sim x \\ x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3，\tan x-x\sim \frac{1}{3}{x}^3 \\ x-\ln (1+x)\sim \frac{1}{2}{x}^2,\arcsin x-x\sim \frac{1}{6}{x}^3 \\ x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3 \end{gathered}$$

练习1：${\lim }_{x\to 0}\frac{x\ln (1+x)}{1-\cos x}$=?

知识点：$\ln (1+x)\sim x，1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

解：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\ln (1+x)}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{\frac{1}{2}{x}^2}=2$$

练习2：${\lim }_{x\to \infty }x\sin \frac{2x}{x^2+1}$=?

知识点：当$x\to 0\sin x\sim x$

解:$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }\frac{2x}{x^2+1}=0 \\ \sin \frac{2x}{x^2+1}\sim \frac{2x}{x^2+1} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }x\frac{2x}{x^2+1}=2 \end{gathered}$$

练习3：$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+cosx)\ln (1+x)}$$?

知识点：
1、$\ln (1+x)\sim x,\lim f_1(x)h(x)=\lim f_2(x)h(x)$
2、无穷小量与有界量的积仍是无穷小；

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+cosx)\ln (1+x)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+cosx)x}(\ln (1+x)\sim x) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\frac{\sin x}{x}+x\cos \frac{1}{x}}{(1+cosx)}=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}(x\cos \frac{1}{x}:无穷小量与有界量的积仍是无穷小) \\ 即：\underset{x\to 0}{\lim }\frac{3\sin x+x^2\cos \frac{1}{x}}{(1+cosx)\ln (1+x)}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

练习4：${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}$

知识点：$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x(\alpha \ne 0)，1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

解：$$\begin{gathered} (\sqrt[3]{1+x^2}-1)\sim \frac{1}{3}{x}^2，(\sqrt{1+\sin x}-1)\sim \frac{1}{2}\sin x \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{\frac{1}{3}{x}^2\frac{1}{2}\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{3}{x}^2\frac{1}{2}} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{1}{\cos x}}{\frac{1}{3}{x}^2\frac{1}{2}}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{\frac{1}{3}{x}^2\frac{1}{2}\cos x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{\frac{1}{3}{x}^2\frac{1}{2}\cos x}=-3（\underset{x\to 0}{\lim }\cos x=1） \\ 既：\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x-\tan x}{(\sqrt[3]{1+x^2}-1)(\sqrt{1+\sin x}-1)}=-3 \end{gathered}$$

练习5：${\lim }_{x\to 0}\frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}$?

知识点：$e^x-1\sim x，(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x(\alpha \ne 0)，1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2$

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e-e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e(1-e^{\cos x-1)}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e(1-e^{\cos x-1)}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e(1-\cos x)}{\frac{1}{3}{x}^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e\frac{1}{2}{x}^2}{\frac{1}{3}{x}^2}=\frac{3}{2}e \end{gathered}$$

练习6：${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (\cos x)}{x^2}$

知识点：$\ln (1+x)\sim x$

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (\cos x)}{x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+\cos x-1)}{x^2} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2} \end{gathered}$$

洛必达法则求极限

定义 若：
1、${\lim }_{x\to x_0}f(x)={\lim }_{x\to x_0}g(x)=0（或\infty ）$;
2、$f(x)和g(x)$在$x_0$的某去心领域内可导，且$g^{{}^{\prime }}(x)\ne 0$;
3、${\lim }_{x\to x^0}\frac{f^{{}^{\prime }}(x)}{g^{{}^{\prime }}(x)}$存在（或$\infty$)
则${\lim }_{x\to x^0}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to x^0}\frac{f^{{}^{\prime }}(x)}{g^{{}^{\prime }}(x)}$

TIPS:

1、洛必达法则适应类型

洛必达法则可用来求七种类型不定式的极限：$$\frac{0}{0}、\frac{\infty }{\infty }、\infty \pm \infty 、0\cdot \infty 、1^{\infty }、{\infty }^0、0^0$$
$\frac{0}{0}、\frac{\infty }{\infty }$可以直接用洛必达法则，其他五种都可转为$$\frac{0}{0}、\frac{\infty }{\infty }$然后使用洛必达法则。

2、使用洛必达法则注意事项

1、要先检验其条件是否满足
2、符合洛必达法则条件，可以连续使用洛必达法则；
3、含有极限非零的因子，可单独求极限；
4、能进行等价无穷小替换或恒等变形的可以配合洛必达使用，也可简化运算；

练习1：${\lim }_{x\to 0}\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}$=?

知识点：
1、$\frac{0}{0}$洛必达法则
2、含有极限非零的因子，可单独求极限；
3、$1-\cos x\sim \frac{1}{2}{x}^2，x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3，x-\arctan x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

解法1：$$\begin{gathered} (\arctan x-\sin x{)}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{1+x^2}-\cos x \\ (x^3{)}^{{}^{\prime }}=3x^2 \\ 代入整理得：\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x-x^2\cos x}{3x^2(1+x^2)} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x-x^2\cos x}{3x^2(1+x^2)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{3(1+x^2)}\cdot \underset{x\to 0}{\lim }(\frac{1-\cos x}{x^2}-\cos x)=\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

解法2：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-\sin x}{x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x+x-\sin x}{x^3} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\arctan x-x}{x^3}+\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=-\frac{1}{6} \end{gathered}$$

练习2：${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}$=?

知识：
1、$\frac{0}{0}$洛必达法则

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}-2x}{x-\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+e^{-x}-2}{1-\cos x} \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-e^{-x}}{\sin x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x+e^{-x}}{\cos x}=2 \end{gathered}$$

练习3：${\lim }_{n\to \infty }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}$=?

知识点：
1、等价无穷小替换$\ln (1+x)\sim x，tanx-x\sim \frac{1}{3}{x}^3$

解 :$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }(n\tan \frac{1}{n}{)}^{n^2}=e^{{\lim }_{n\to \infty }{n}^2\ln (n\tan \frac{1}{n})} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2\ln (n\tan \frac{1}{n})=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (1+n\tan \frac{1}{n}-1)}{\frac{1}{n^2}} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\ln (1+n\tan \frac{1}{n}-1)}{\frac{1}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n\tan \frac{1}{n}-1}{\frac{1}{n^2}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\tan \frac{1}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}} \\ \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\tan \frac{1}{n}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^3}}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\frac{1}{3n^3}}{\frac{1}{n^3}}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

练习4：${\lim }_{x\to 0}\frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}$=?

知识点：
1、等价无穷小$e^x-1\sim x，x-\sin x\sim \frac{1}{6}{x}^3$
2、$\frac{0}{0}$洛必达法则

解：$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-e^{2-2\cos x}}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2-2\cos x}(e^{x^2-2+2\cos x}-1)}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2+2\cos x}{x^4}(等价无穷小) \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2+2\cos x}{x^4}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x-2\sin x}{4x^3}（洛必达） \\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x-2\sin x}{4x^3}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{1}{6}{x}^3}{2x^3}=\frac{1}{12}（等价替换） \end{gathered}$$