计算机组成原理==初识二进制运算

计算机组成原理

计算机算术概要

计算机算术是计算机组成原理中的一个重要部分，它涉及在计算机硬件中执行基本数学运算的方法和技术。计算机算术不仅包括简单的加减乘除运算，还包括更复杂的操作如浮点运算、位运算等。

1. 基本概念

• 数制：计算机内部通常使用二进制（基数为2）进行运算，但也有八进制（基数为8）、十六进制（基数为16）等形式用于简化表示。
• 补码表示：为了处理负数，计算机通常采用补码形式来表示整数。补码使得加法和减法可以统一成加法操作。

2. 整数运算

• 加法：直接的二进制加法，需要注意溢出问题。
• 减法：通过加上负数的补码实现。
• 乘法：可以通过多次移位和加法实现。
• 除法：可以通过重复的减法或移位和减法实现。
• 取模：除法运算的副产品，得到的是余数。

3. 浮点运算

• IEEE 754标准：定义了浮点数的格式，包括单精度（32位）和双精度（64位）。
• 浮点加减法：需要对齐指数，然后进行尾数的加减。
• 浮点乘除法：指数相加/减，尾数相乘/除，最后调整结果以符合规格化要求。

4. 逻辑运算与位运算

• 逻辑运算：包括AND、OR、NOT等，通常用于条件判断。
• 位运算：包括按位AND、OR、XOR、NOT以及移位操作，这些操作直接作用于数据的二进制位上。

5. 算术逻辑单元（ALU）

• 功能：ALU是CPU的一部分，负责执行所有的算术和逻辑运算。
• 设计：ALU的设计包括多个子模块，每个子模块处理特定类型的运算，例如加法器、多路选择器等。

6. 运算优化

• 并行计算：利用硬件的并行性提高运算速度。
• 流水线技术：将一个长的操作分解为多个小步骤，并让不同阶段同时工作。
• 专用硬件：例如FPU（浮点运算单元）专门用来加速浮点运算。

7. 错误检测与纠正

• 奇偶校验：通过添加额外的位来检测错误。
• 海明码：不仅可以检测错误，还可以纠正单个比特的错误。

8. 特殊情况

• 溢出：当运算结果超出表示范围时发生。
• 下溢：当数值变得太小而无法准确表示时发生。
• 舍入误差：在浮点运算中由于有限精度造成的误差。

计算机算术是计算机科学和工程的基础之一，理解这些概念对于开发高效的软件和设计高性能的硬件都非常重要。随着技术的发展，新的算法和硬件架构不断出现，以进一步提高计算效率和准确性。

二进制的运算

二进制乘法运算

二进制乘法运算遵循与十进制乘法相似的原则，但操作更为简单，因为只涉及0和1两个数字。在二进制中，任何数乘以0的结果是0，任何数乘以1的结果是它本身。当进行多位数相乘时，同样需要考虑位的对齐和进位的问题。

下面是一个简单的二进制乘法实例解析：

假设我们要计算二进制数 1011（等价于十进制的11）与 1101（等价于十进制的13）的乘积。

步骤如下：

      1011x  1101________1011   (这是1011 * 1)0000    (左移一位，并且1011 * 0 = 0000)1011     (再左移一位，相当于1011 * 1)+ 1011      (最后左移三位，相当于1011 * 1)
________
10001111

解释每一行：

• 第一行是直接将1011乘以最右边的1。
• 第二行是将1011左移一位（相当于乘以2），然后乘以0，所以结果为0000。
• 第三行再次左移一位（相当于乘以4），这次是乘以1，所以得到1011。
• 第四行则是把1011左移三位（相当于乘以8），同样是乘以1，因此又得到了1011。

然后我们把这些结果加起来，注意要按照二进制加法规则处理进位问题。最终结果是10001111，这个二进制数转换成十进制就是143，确实等于11 * 13。

为了确保正确性，可以将最终的二进制结果转换回十进制来验证：10001111 = 12^7 + 02^6 + 02^5 + 02^4 + 12^3 + 12^2 + 12^1 + 12^0 = 128 + 8 + 4 + 2 + 1 = 143。

这就是一个完整的二进制乘法过程及其实例解析。

二进制补码=原码取反+1

• 二进制补码正数左移一位相当于二倍扩展
• 二进制右移相当于除以2

移位操作

快速乘法

构造逻辑矩阵

二进制除法运算

好的，让我们通过一个非常详细的步骤来展示二进制除法。我们将使用相同的例子：10101100（88）除以1100（12）。这个过程将被分解为多个小步骤，并且每一步都会详细解释。

步骤 1: 设置除法布局

       __________1100 | 10101100

步骤 2: 比较并确定商的第一位

• 我们从最左边开始比较，1010比1100小，所以我们需要考虑更多的位数。
• 考虑10101，它仍然小于1100。
• 现在考虑101011，它大于1100，因此我们可以进行第一次减法。

步骤 3: 第一次减法

• 商的第一位是1，因为101011可以容纳1100至少一次。
• 执行减法：101011 - 1100 = 10011。
• 将结果写下来：

       11100 | 10101100- 1100_______10011

步骤 4: 下移一位并继续比较

• 将余数10011向下移动一位，加上下一位数字0，得到100110。
• 100110大于1100，所以商的下一位也是1。
• 执行减法：100110 - 1100 = 10110。
• 更新除法布局：

       111100 | 10101100- 1100_______100110- 1100_______10110

步骤 5: 再次下移一位并继续比较

• 将余数10110向下移动一位，加上最后一位0，得到101100。
• 101100大于1100，所以商的下一位也是1。
• 执行减法：101100 - 1100 = 10000。
• 更新除法布局：

       1111100 | 10101100- 1100_______100110- 1100_______101100- 1100_______10000

步骤 6: 结束条件

• 此时，剩余的10000已经不足以再减去1100了，因此我们停止除法运算。
• 最终的商是111（等于十进制的7），余数是10000（等于十进制的16）。

总结：

• 商是111（7）
• 余数是10000（16）

这就是整个二进制除法的过程，每一步都尽可能地详细展示了。

浮点数的运算

在IEEE 754标准中的运算规则

浮点数运算是计算机科学中的一个重要主题，尤其是在数值计算、科学计算和工程应用中。IEEE 754标准定义了浮点数的表示方法以及运算规则，确保了不同平台之间的一致性。

浮点数的表示

在IEEE 754标准中，浮点数通常以单精度（32位）或双精度（64位）格式存储。一个浮点数由三个部分组成：

• 符号位（S）：1位，0表示正数，1表示负数。
• 指数（E）：8位（单精度）或11位（双精度），用于表示基数2的幂。
• 尾数（M）：23位（单精度）或52位（双精度），用于表示小数部分。

浮点数加减法

浮点数加减法的基本步骤如下：

1. 对齐指数：

   • 比较两个操作数的指数。
   • 将较小指数的操作数的尾数向右移位，直到两个操作数的指数相等。每次右移一位，指数增加1。

2. 执行加减法：

   • 对齐后的尾数进行加法或减法运算。
   • 如果结果的最高位是1，则需要进行规格化处理，即将结果左移一位，并相应地减少指数。

3. 规格化：

   • 确保结果的尾数在[1, 2)范围内。如果不在这个范围内，需要进行规格化处理。
   • 规格化可能涉及多次移位和调整指数。

4. 舍入：

   • 根据IEEE 754标准选择合适的舍入模式（如向最近偶数舍入）。
   • 舍入可能会导致尾数溢出，此时需要再次调整指数。

5. 检查异常：

   • 检查结果是否为无穷大、NaN（非数字）、下溢或上溢。

浮点数乘除法

浮点数乘除法的基本步骤如下：

1. 处理符号位：

   • 乘法时，两数符号位异或得到结果的符号位。
   • 除法时，被除数符号位与除数符号位异或得到结果的符号位。

2. 处理指数：

   • 乘法时，两数指数相加。
   • 除法时，被除数指数减去除数指数。

3. 处理尾数：

   • 乘法时，两数尾数相乘。
   • 除法时，被除数尾数除以除数尾数。

4. 规格化：

   • 乘法后，结果尾数可能超过[1, 2)范围，需要右移并增加指数。
   • 除法后，结果尾数可能小于1，需要左移并减少指数。

5. 舍入：

   • 根据IEEE 754标准选择合适的舍入模式。
   • 舍入可能会导致尾数溢出，此时需要再次调整指数。

6. 检查异常：

   • 检查结果是否为无穷大、NaN、下溢或上溢。

舍入模式

IEEE 754标准定义了几种舍入模式：

• 向最近偶数舍入（Round to Nearest, Ties to Even）：默认模式，向最近的值舍入；如果距离相等，则舍入到最接近的偶数。
• 向零舍入（Round Toward Zero）：总是向零方向舍入。
• 向上舍入（Round Up）：总是向正无穷方向舍入。
• 向下舍入（Round Down）：总是向负无穷方向舍入。

异常情况

• 无穷大：当结果超出表示范围时。
• NaN：非法操作的结果，例如0/0。
• 下溢：结果太小而无法表示。
• 上溢：结果太大而无法表示。

实际实现

现代处理器通常包含专门的浮点运算单元（FPU）来高效执行这些运算。FPU会优化上述步骤，并且能够处理复杂的算术运算，如三角函数、对数等。

通过理解这些基本原理，你可以更好地掌握浮点数运算的工作方式，并在编写程序时考虑到浮点数运算的精度和性能问题。