局部凸空间及其在算子空间中的应用之四——归纳极限空间2

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数学的真理是绝对的，它超越了时间和空间。——约翰·冯·诺伊曼

前言

在上一篇文章中，我们讨论了归纳极限拓扑的概念和与连续线性算子有关的一个重要结论。认识到归纳极限拓扑本质上就是由满足如下条件的 $X$ 上的拓扑 $\tau$ 而定义的：线性映射 $A:(X,\tau )\to (Y,\sigma )$ 连续当且仅当 $\forall \alpha \in \mathcal{A}，A\circ h_{\alpha }:(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })\to (Y,\sigma )$ 连续” 。我们也可以根据这一等价命题来判断 $\tau$ 是不是归纳极限拓扑。

此处，“极限”的概念指的是某种意义上的“趋近行为”，但它并不是指序列的极限，而是指某种结构上的极限，这是更高层次的一种极限，它将所有部分对象合乎情理地“合并”成一个新的对象。我们也可以理解归纳极限拓扑为所有被考虑的局部凸空间的一个极大自然扩张而行成的局部凸空间。

若所有的 $h_{\alpha }:X_{\alpha }\to X$ 同时还是连续嵌入的话，即 $X_{\alpha }\hookrightarrow X$（需满足 $h_{\alpha }$ 是单射，且 $X_{\alpha }\to h_{\alpha }(X_{\alpha })$ 是同胚，$h_{\alpha }$ 本身相比同胚要弱那么一点），那么归纳极限拓扑就是由 ${\tau }_{\alpha }$ 这些个局部凸拓扑通过连续嵌入拼接而成。这有点类似于流形拓扑的定义，因为两者都依赖于局部性质来定义整体结构，并且都是通过一系列较小的、更容易处理的部分来构造更大、更复杂的结构。

归纳极限拓扑和流形拓扑虽然都属于拓扑学的范畴，但在定义、构造方法以及应用领域方面有着显著的不同。归纳极限拓扑更多关注的是如何通过一系列空间的“极限”构造新的空间，而流形拓扑则侧重于如何使用局部的欧几里得空间来描述整体的几何性质。另一个显著的不同则在于，归纳极限拓扑的每个局部都是一个完整的线性空间且还是局部凸空间，各个部分的拼接是通过连续线性映射而实现；而流形拓扑的每个局部则是欧式空间中的一块碎片（不完整），其各个部分的拼接则是通过同胚而实现的，并且同胚的象必须是欧式空间中的某个开集。因此，归纳极限拓扑通常用于构造无限维空间，而流形拓扑则更多地用于描述有限维空间的拓扑不变性质。两者各自在不同的数学分支中发挥着重要作用。

那么归纳极限拓扑的“极限”具体该如何理解呢？本文将继续进行详细深入的探讨。

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一、归纳极限拓扑中极限的含义

我们先回忆前面关于归纳极限拓扑的定义：

定义 给定具有同一数域 $\mathbb{K}$ 的向量空间 $X$ 和局部凸空间族 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ $(\alpha \in \mathcal{A})$，取一族线性映射 $h_{\alpha }:X_{\alpha }\to X$ ($\alpha \in \mathcal{A}$)，且满足
$$X=\text{span}\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{h}_{\alpha }(X_{\alpha })$$ 则称 $X$ 上使得一切 $h_{\alpha }$ $(\alpha \in \mathcal{A})$ 都连续的最强的（最细的）局部凸拓扑为局部凸空间族 $\{(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })|\alpha \in \mathcal{A}\}$ 关于线性映射族 { h α ∣ α ∈ A } \{ h_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {hα​∣α∈A} 的归纳极限拓扑，记作 $\tau$，而 $(X,\tau )$ 为 $\{(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })|\alpha \in \mathcal{A}\}$ 关于 { h α ∣ α ∈ A } \{ h_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A} \} {hα​∣α∈A} 的归纳极限空间。

归纳极限拓扑 $\tau$ 中的平衡凸（也是吸收的）原点邻域基构的造如下：
$$\mathcal{B}=\left\{\text{co}\bigcup _{\alpha \in \mathcal{A}}{h}_{\alpha }{V}_{\alpha }|V_{\alpha }\text{是}(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })的平衡凸原点邻域\right\}$$ 现在我们考虑减少上面指标族 $\mathcal{A}$ 中的某个指标，使得其仍然构成原归纳极限拓扑的一个平衡凸原点邻域基。

易知如果有一对指标 $\alpha ,\beta \in \mathcal{A}$，对于 $(X_{\beta },{\tau }_{\beta })$ 的任何平衡凸原点邻域 $U_{\beta }$恒有 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的平衡凸原点邻域 $U_{\alpha }$ 使得 $h_{\alpha }{U}_{\alpha }\subseteq h_{\beta }{U}_{\beta }$，那么下述集族
B ′ = { co ⋃ λ ∈ A \ { β } h λ U λ ∣ U λ 是 ( X λ , τ λ ) 的平衡凸原点邻域 } \mathscr{B}' = \left\{ \text{co} \bigcup_{\lambda \in \mathcal{A} \backslash\{ \beta\}} h_{\lambda }U_{\lambda } | \; U_{\lambda } \text{是} (X_{\lambda }, \tau_{\lambda }) 的平衡凸原点邻域 \right\} B′=⎩ ⎨ ⎧​coλ∈A\{β}⋃​hλ​Uλ​∣Uλ​是(Xλ​,τλ​)的平衡凸原点邻域⎭ ⎬ ⎫​ 也是 $(X,\tau )$ 的平衡凸原点邻域基。

我们证明上面的论述。由前面的原点邻域基定理1.3知，${\mathcal{B}}^{\prime }$ 中的原点邻域显然满足平衡和吸收的性质，剩下只需要验证定理1.3中的第一点和第四点。

先证明第一点。对于任意的 $V_1,V_2\in {\mathcal{B}}^{\prime }$，不妨设 $V_1\cap V_2\ne \varnothing$，则由凸集的任意交是凸集，平衡集的任意交是平衡集知，$V_1\cap V_2$ 也是 $X$ 的非空的平衡凸集。由 $h_{\lambda }:X_{\lambda }\to X$ 的连续性知，存在 $X_{\lambda }$ 的平衡凸原点邻域 $U_{\lambda }$ 使得 $h_{\lambda }{U}_{\lambda }\subseteq V_1\cap V_2$。显然有 $\text{co}{\bigcup }_{\lambda \in \mathcal{A}}{h}_{\lambda }{U}_{\lambda }\subseteq V_1\cap V_2$ 是含原点的平衡凸集，另一方面，对于 $(X_{\beta },{\tau }_{\beta })$ 的平衡凸原点邻域 $U_{\beta }$，由已知条件存在 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的平衡凸原点邻域 $U_{\alpha }^{\prime }$ 使得 $h_{\alpha }{U}_{\alpha }^{\prime }\subseteq h_{\beta }{U}_{\beta }$，因此除去 $h_{\alpha }{U}_{\alpha }$ 和 $h_{\beta }{U}_{\beta }$ 并添上 $h_{\alpha }{U}_{\alpha }^{\prime }$ 则有
co ⋃ λ ∈ A \ { β } h λ U λ ⊆ co ⋃ λ ∈ A h λ U λ ⊆ V 1 ∩ V 2 \text{co} \bigcup_{\lambda \in \mathcal{A} \backslash\{ \beta\}} h_{\lambda }U_{\lambda } \subseteq \text{co} \bigcup_{\lambda \in \mathcal{A} } h_{\lambda }U_{\lambda } \subseteq V_1 \cap V_2 coλ∈A\{β}⋃​hλ​Uλ​⊆coλ∈A⋃​hλ​Uλ​⊆V1​∩V2​ 且显然 co ⋃ λ ∈ A \ { β } h λ U λ ∈ B ′ \text{co} \bigcup_{\lambda \in \mathcal{A} \backslash\{ \beta\}} h_{\lambda }U_{\lambda } \in \mathscr{B}' co⋃λ∈A\{β}​hλ​Uλ​∈B′。这就证明了原点邻域基定理的第一条性质成立。

再证明第四点（道理还是类似的）。对于任意 U = co ⋃ λ ∈ A \ { β } h λ U λ U = \text{co} \bigcup_{\lambda\in \mathcal{A}\backslash\{ \beta\}} h_{\lambda}U_{\lambda} U=co⋃λ∈A\{β}​hλ​Uλ​，不妨取 $W=\frac{1}{2}U$，则 $W$ 也是包含原点的平衡凸集，且有
1 2 U = co ⋃ λ ∈ A \ { β } h λ ( U λ / 2 ) ∈ B ′ \frac{1}{2} U = \text{co} \bigcup_{\lambda \in \mathcal{A}\backslash\{ \beta\}} h_{\lambda} \left(U_{\lambda}/2 \right) \in \mathscr{B}' 21​U=coλ∈A\{β}⋃​hλ​(Uλ​/2)∈B′ 对于任意的 $w_1,w_2\in W$，我们有 $w_1=\frac{v_1}{2}$，$w_2=\frac{v_2}{2}$，由于 $U$ 是凸集，$w_1+w_2=\frac{1}{2}{v}_1+\frac{1}{2}{v}_2\in U$，因此 $W+W\subseteq U$。

因此在条件 “如果有一对指标 $\alpha ,\beta \in \mathcal{A}$，对于 $(X_{\beta },{\tau }_{\beta })$ 的任何平衡凸原点邻域 $U_{\beta }$恒有 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的平衡凸原点邻域 $U_{\alpha }$ 使得 $h_{\alpha }{U}_{\alpha }\subseteq h_{\beta }{U}_{\beta }$” 下，我们有 ${\mathcal{B}}^{\prime }$ 也是 $(X,\tau )$ 的原点邻域基。这就完成了上述问题的证明。$\square$

该邻域基的特点在于，我们可以除去 $\beta$ 指标的相应 $h_{\beta }{U}_{\beta }$ 而由 $\alpha$ 指标的相应 $h_{\alpha }{U}_{\alpha }^{\prime }$ 来构建归纳极限拓扑。

为了能够获得上述性质，我们假设存在连续线性映射
$$h_{\beta \alpha }:(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })\to (X_{\beta },{\tau }_{\beta })$$ 满足相容性条件 $h_{\alpha }=h_{\beta }\circ h_{\beta \alpha }$。由 $h_{\alpha }$ 的线性和连续性知，对于 $(X_{\beta },{\tau }_{\beta })$ 的任何平衡凸原点邻域 $U_{\beta }$，存在 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的平衡凸原点邻域 $U_{\alpha }$ 使得 $h_{\beta \alpha }{U}_{\alpha }\subseteq U_{\beta }$，从而
$$h_{\alpha }{U}_{\alpha }=h_{\beta }\circ h_{\beta \alpha }{U}_{\alpha }\subseteq h_{\beta }{U}_{\beta }$$ 因此满足上面要求的条件。取 $U_{\alpha }=X_{\alpha }$ 以及 $U_{\beta }=X_{\beta }$ 可得 $h_{\alpha }{X}_{\alpha }\subseteq h_{\beta }{X}_{\beta }$。

基于此，下面我们给出归纳极限拓扑通过极限观点的描述。先来回忆一下定向集的概念。

定义 设 $(A,\preccurlyeq )$ 是一个定向集。这意味着 $A$ 是一个集合，并且 $\preccurlyeq$ 是一个偏序关系，使得对于任意的 $\alpha ,\beta \in A$，都存在一个元素 $\gamma \in A$ 使得 $\alpha \preccurlyeq \gamma$ 和 $\beta \preccurlyeq \gamma$。

定向集的引入是有原因的。在标准分析中，我们经常使用序列来描述极限过程。然而，在更一般的拓扑空间中，特别是那些不满足第一可数公理的空间，可能不存在足够多的序列来描述所有的收敛现象。这时，我们可以使用网（nets），而网的索引集通常是一个定向集。

定义 设 $(D,\preccurlyeq )$ 是一个定向集，$X$ 是一个拓扑空间。从 $D$ 到 $X$ 的映射 $x:D\to X$ 称为 $X$ 上的一个网，通常记作 $(x_d{)}_{d\in D}$ 或者简单地写成 $(x_d)$，其中 $x_d=x(d)$ 对于所有的 $d\in D$ 成立。

有了网的定义，我们可以定义网收敛的概念，推广了序列收敛。

定义 我们说网 $(x_d{)}_{d\in D}$ 收敛到拓扑空间 $X$ 中的一个点 $x\in X$，如果对于 $x$ 的任意邻域 $U$，存在 $d_0\in D$ 使得对于所有 $d\succcurlyeq d_0$（即 $d_0$ 后的所有元素），都有 $x_d\in U$。

注意到，网收敛中的定向集（索引集）可以是不可数的、偏序非全序的、或者甚至没有最小元。在这种情况下，定向集与序列的索引集——自然数集的特征是完全不一样的。

下面给出归纳极限拓扑的极限方式的定义，这个定义需要添加 $h_{\beta \alpha }$ 的相关描述。上一篇文章已经用了定义4.1和定理4.2，本文便从定义4.3开始。

定义4.3 设 $(A,\preccurlyeq )$ 是定向集，线性空间 $X$ 和局部凸空间 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 具有同一数域 $\mathbb{K}$ ，任意的 $\alpha \in \mathcal{A}$。设 $h_{\alpha }:X_{\alpha }\to X$ 都是线性映射，$X=\text{span}{\cup }_{\alpha \in \mathcal{A}}{h}_{\alpha }{X}_{\alpha }$，任意的 $\alpha ,\beta \in \mathcal{A}$，$\alpha \preccurlyeq \beta$ 有连续线性映射 $h_{\beta \alpha }:(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })\to (X_{\beta },{\tau }_{\beta })$，且满足相容性条件
$$\begin{gathered} h_{\alpha }=h_{\beta }\circ h_{\beta \alpha },\text{当 α≼β}, \\ {h}_{\gamma \alpha }=h_{\gamma \beta }\circ h_{\beta \alpha },\text{当 α≼β≼γ} \end{gathered}$$ 特别地，$h_{\alpha \alpha }$ 系 $X_{\alpha }$ 到 $X_{\alpha }$ 的恒等映射。$X$ 上 $\{(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })|\alpha \in \mathcal{A}\}$ 关于 { h α ∣ α ∈ A } \{h_{\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A}\} {hα​∣α∈A} 的归纳极限拓扑为 $\tau$，我们也称 $\tau$ 为 $\{(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha })|\alpha \in \mathcal{A}\}$ 关于 { h β α ∣ α ∈ A , α ≼ β } \{h_{\beta\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A}, \alpha \preccurlyeq \beta\} {hβα​∣α∈A,α≼β} 的归纳极限拓扑。空间 $(X,\tau )$ 为 $\{(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha })|\alpha \in \mathcal{A}\}$ 关于 { h β α ∣ α ∈ A , α ≼ β } \{h_{\beta\alpha} | \; \alpha \in \mathcal{A}, \alpha \preccurlyeq \beta\} {hβα​∣α∈A,α≼β} 的归纳极限空间。

根据上述定义，我们可以阐述这里极限的含义。在上述归纳极限拓扑中，“极限”的含义在于，随着 $\alpha$ 在定向集 $(A,\preccurlyeq )$ 中逐渐增大（即沿着某种方向前进），对应的 $X_{\alpha }$ 被逐步“纳入”到最终的空间 $X$ 中。可以想象，如果我们沿着 $(A,\preccurlyeq )$ 不断前进，我们会看到一个不断扩展的空间，最终达到一个稳定的形态，这就是归纳极限空间 $X$。

你可以将归纳极限想象成一个不断增长的容器，它不断地吸收更小的容器中的内容。每次加入新的内容时，都会根据已经存在的内容调整自身，确保新旧内容之间保持一致性。最终，这个容器包含了所有之前容器的内容，并且以一种统一的方式组织起来。

我们记
$$\begin{gathered} \tau =\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }({\tau }_{\alpha };h_{\alpha }) \\ (X,\tau )=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha }) \end{gathered}$$ 事实上，在上述定义中，我们要求归纳极限拓扑中涉及到的指标集是一个定向集，这样方便我们讨论 $X_{\alpha }$ 和 $X_{\beta }$ 可能的先后关系，这正是极限所要讨论的基本前提。

值得一提的是，在上述极限中，我们是对所有满足 $\alpha \preccurlyeq \beta$ 的指标对 $(\alpha ,\beta )$ 而取的。显然映射 $h_{\beta \alpha }:X_{\alpha }\to X_{\beta }$​ 不会对最终的归纳极限拓扑 $\tau$ 本身产生直接贡献。它们的主要作用体现在归纳极限拓扑内部空间之间的一致性上，确保局部空间的映射关系符合预期。其具体作用可以总结如下：

1. $h_{\beta \alpha }$​ 的定义确保了当我们从不同的空间 $X_{\alpha }$ 和 $X_{\beta }$​ 转移到一个更大的目标空间 $X_{\gamma }$ 时，映射是可以复合的，即 $h_{\gamma \alpha }=h_{\gamma \beta }\circ h_{\beta \alpha }$，当 $\alpha ⪯\beta ⪯\gamma$ 时。其保证了局部系统的一致性，但这并不直接影响 $X$ 上的最终拓扑。
2. $h_{\beta \alpha }$​ 保证了各个局部空间 $X_{\gamma }$​ 之间连续过度的关系（$h_{\alpha }=h_{\beta }\circ h_{\beta \alpha }$​ 当 $\alpha ⪯\beta$ 时），从而使得局部的拓扑结构可以有效拼接为更大的全局拓扑。这是归纳极限空间能够正确定义的基础。

因此 $h_{\beta \alpha }$ 的作用主要体现在归纳极限空间的极限构建过程中，而非最终拓扑的定义上。如果没有 $h_{\beta \alpha }$，我们对归纳极限这一极限的描述将会比较模糊，甚至我们不能讨论这一极限过程（这就是上一篇文章中讲到的归纳极限的概念，如果能讨论这个极限，那它的极限概念也含糊不清；如果不能讨论这个极限，它也涵盖这一类空间，但本文却不能涵盖）。

为什么我们要在极限记号中使用 $h_{\beta \alpha }({\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$ 而非 $h_{\alpha }({\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$ 或 $h_{\beta }({\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$ 呢？这是因为 $h_{\beta \alpha }$​ 是从一个局部空间 $X_{\alpha }$​ 到另一个局部空间 $X_{\beta }$​ 的连续线性映射。当 $h_{\beta \alpha }$​ 是嵌入的时候，它的作用是将局部拓扑 ${\tau }_{\alpha }$​ 通过 $h_{\beta \alpha }$ 转换到与 $X_{\beta }$​ 相关的拓扑结构。在构建全局拓扑时，我们需要将每个局部空间的拓扑 ${\tau }_{\alpha }$​ 通过 $h_{\beta \alpha }$ 转换为全局拓扑的一部分。这是因为 $h_{\beta \alpha }$​ 具体负责连接不同局部空间的拓扑特性。极限 $\tau$ 是通过所有局部拓扑在映射下的合并形成的。因此，使用 $h_{\beta \alpha }$ 来表示这个极限是自然的。

另一方面，$h_{\beta }({\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$ 这个映射将局部拓扑直接映射到全局拓扑，但缺少了由中间局部结构 $X_{\alpha }$​ 到 $X_{\beta }$​ 的转换，因此无法保证局部拓扑在过渡过程中的一致性。

而极限 $\tau =\underset{\alpha \in A}{\lim }{h}_{\beta \alpha }({\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$ 则强调了局部拓扑在全局结构中的有效整合，保证了在归纳极限过程中局部信息的保留和一致性。因此这样的极限记号是最合理的选择，因为它着实反映了局部拓扑是如何通过适当的映射关系转变为全局拓扑的。而其他映射则无法有效捕捉这种从局部到全局的结构整合。

总而言之，如果要描述归纳极限拓扑的极限趋近过程，我们就有必要给出连续线性映射 $h_{\beta \alpha }$ 以及将指标族 $\mathcal{A}$ 赋予定向集的性质。

结合前面的讨论，定义4.3中显然有 $h_{\alpha }{X}_{\alpha }\subseteq h_{\beta }{X}_{\beta }$ 成立，当 $\alpha ⪯\beta$ 时。这种包含关系体现了从较小的拓扑空间 $X_{\alpha }$​ 到较大的拓扑空间 $X_{\beta }$​ 的渐进构造。确保了在归纳极限空间中，较小的局部空间不会与较大的空间发生“冲突”或“不兼容”的情况。该性质还反映了归纳极限空间构造中的一个重要特征：局部空间的嵌入关系反映在归纳极限的映射关系中。归纳极限空间中的拓扑结构则是由所有这些局部拓扑逐层叠加形成的。我们姑且认为上述极限式是一种探索性写法。

另一方面显然有， h β α − 1 τ β : = { h β α − 1 ( G ) ∣ G ∈ τ β } ⊆ τ α h^{-1}_{\beta\alpha} \tau_{\beta}:=\{ h^{-1}_{\beta\alpha}(G)| \; G\in \tau_{\beta}\} \subseteq \tau_{\alpha} hβα−1​τβ​:={hβα−1​(G)∣G∈τβ​}⊆τα​，当 $\alpha \preccurlyeq \beta$ 时。

特别地，若 $X_{\alpha }(\alpha \in \mathcal{A})$ 都是 $X$ 的线性子空间，$h_{\alpha }(\alpha \in \mathcal{A})$ 是从 $X_{\alpha }$ 到 $X$ 中的嵌入映射，且 $h_{\beta \alpha }(\alpha \preccurlyeq \beta )$ 是从 $X_{\alpha }$ 到 $X_{\beta }$ 中的嵌入映射，则有 $X_{\alpha }\subseteq X_{\beta }$，${\tau }_{\alpha }\subseteq {\tau }_{\beta }$，这时极限可以简记为
$$\begin{gathered} \tau =\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{\tau }_{\alpha }, \\ (X,\tau )=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha }) \end{gathered}$$ 为了叙述定理4.4，我们先给出定向集的共尾子集的概念。

定义 给定定向集 $A$，其子集 $A^{\prime }$ 是共尾的，当且仅当对于每个 $a\in A$，都存在某个 $a^{\prime }\in A^{\prime }$ 使得 $a\preccurlyeq a^{\prime }$。$A^{\prime }$ 被称为定向集 $A$ 的共尾子集。

易知共尾子集保持原定向集的极限性质，如果一个网 $(x_{\alpha }{)}_{\alpha \in A}$ 收敛于 $x$，并且 $A^{\prime }$ 是 $A$ 的共尾子集，那么由 $A^{\prime }$ 中的元素组成的子网 $(x_{{\alpha }^{\prime }}{)}_{{\alpha }^{\prime }\in A^{\prime }}$ 也收敛于 $x$。这便是共尾子集能够保留原网的极限性质。

下述定理让我们进一步理解归纳极限中极限的概念。

定理 4.4 假设
$$\begin{gathered} (X,\tau )=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha }), \\ (X,\sigma )=\underset{p\in \mathcal{P}}{\lim }{g}_{sp}(X_p,{\sigma }_p;g_p) \end{gathered}$$ 如果 $\forall \alpha \in \mathcal{A}$ 存在 $p_{\alpha }\in \mathcal{P}$，使得对 $(X_{p_{\alpha }},{\sigma }_{p_{\alpha }})$ 的任何原点邻域 $W$，存在 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的原点邻域 $V$ 满足 $h_{\alpha }V\subseteq g_{p_{\alpha }}W$，那么 $\sigma \subseteq \tau$。特别地，如果 { X α ′ } α ′ ∈ A ′ \{ X_{\alpha'} \}_{\alpha'\in\mathcal{A}'} {Xα′​}α′∈A′​ 是 { X α } α ∈ A \{ X_{\alpha} \}_{\alpha\in\mathcal{A}} {Xα​}α∈A​ 的子广义列，且 ${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是定向集 $\mathcal{A}$ 的共尾子集，则
$$\underset{{\alpha }^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }}{\lim }{h}_{{\beta }^{\prime }{\alpha }^{\prime }}(X_{{\alpha }^{\prime }},{\tau }_{{\alpha }^{\prime }};h_{{\alpha }^{\prime }})=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$$ 证明定理4.4 记 $(X,\tau )$ 到 $(X,\sigma )$ 的映射 $x\mapsto x$ 为恒等映射 $I$，根据前文定理4.2，只需证明对于任意的 $\alpha \in \mathcal{A}$，映射 $I\circ h_{\alpha }:(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })\to (X,\sigma )$ 连续即可。

对于 $(X,\sigma )$ 的任一平衡凸原点邻域 $W$，不妨记 $W=\text{co}{\cup }_{p\in \mathcal{P}}{g}_p{W}_p$，其中 $W_p$ 是 $(X_p,{\sigma }_p)$ 的平衡凸原点邻域。根据假设，存在 $p_{\alpha }\in \mathcal{P}$ 以及 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的原点邻域 $V_{\alpha }$，使得 $h_{\alpha }{V}_{\alpha }\subseteq g_{p_{\alpha }}{W}_{p_{\alpha }}\subseteq W$，因此 $I\circ h_{\alpha }$ 连续，从而 $I$ 连续，$\sigma \subseteq \tau$。

设 { X α ′ } α ′ ∈ A ′ \{ X_{\alpha'} \}_{\alpha'\in\mathcal{A}'} {Xα′​}α′∈A′​ 是 { X α } α ∈ A \{ X_{\alpha} \}_{\alpha\in\mathcal{A}} {Xα​}α∈A​ 的子广义列，$\forall {\alpha }^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }$ 存在 ${\alpha }_0={\alpha }^{\prime }\in \mathcal{A}$，使得对 $(X_{{\alpha }_0},{\sigma }_{{\alpha }_0})$ 的任何原点邻域 $W$，存在 $(X_{{\alpha }^{\prime }},{\tau }_{{\alpha }^{\prime }})$ 的原点邻域 $V=W$ 满足 $h_{{\alpha }^{\prime }}V=h_{{\alpha }_0}W\subseteq h_{{\alpha }_0}W$，由前面结论有，
$$\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha })\subseteq \underset{{\alpha }^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }}{\lim }{h}_{{\beta }^{\prime }{\alpha }^{\prime }}(X_{{\alpha }^{\prime }},{\tau }_{{\alpha }^{\prime }};h_{{\alpha }^{\prime }})$$ 反过来，任意的 $\alpha \in \mathcal{A}$，存在 ${\alpha }_0^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }$，满足 $\alpha \preccurlyeq {\alpha }_0^{\prime }$，使得对 $(X_{{\alpha }_0^{\prime }},{\sigma }_{{\alpha }_0^{\prime }})$ 的任何原点邻域 $W$，由 $h_{\alpha }$ 的线性和连续性知，存在 $(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })$ 的原点邻域 $V$ 使得 $h_{\alpha }V\subseteq h_{{\alpha }_0^{\prime }}W$，从而有
$$\underset{{\alpha }^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }}{\lim }{h}_{{\beta }^{\prime }{\alpha }^{\prime }}(X_{{\alpha }^{\prime }},{\tau }_{{\alpha }^{\prime }};h_{{\alpha }^{\prime }})\subseteq \underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$$ 因此，我们有等式
$$\underset{{\alpha }^{\prime }\in {\mathcal{A}}^{\prime }}{\lim }{h}_{{\beta }^{\prime }{\alpha }^{\prime }}(X_{{\alpha }^{\prime }},{\tau }_{{\alpha }^{\prime }};h_{{\alpha }^{\prime }})=\underset{\alpha \in \mathcal{A}}{\lim }{h}_{\beta \alpha }(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha };h_{\alpha })$$ 定理4.4证明完毕。$\square$

注意，在原始文献中（周美珂的书《泛函分析》，p8.），定理4.4的这一条件 “${\mathcal{A}}^{\prime }$ 是定向集 $\mathcal{A}$ 的共尾子集” 是没有被提及的，但这个条件是包含在子广义序列的定义中的，即下面的定义：

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我们从上一篇文章到本文此处，所讨论的归纳极限空间都是没有涉及 Hausdorff 空间的，那么归纳极限空间在什么条件下才作成一个 Hausdorff 空间呢？我们将在下一篇文章中引入严格归纳极限空间，并给出其是 Hausdorff 空间的相关定理结论。

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总结

本文我们重点讨论了归纳极限空间中极限的具体含义，并给出了基于过渡映射 $h_{\beta \alpha }$ 的归纳极限空间的极限方式的表述。实际上，如果不去深究这里的极限含义，我们在上一篇文章中，就已经把归纳极限空间的基本概念考虑清楚了，但是那个定义没有考虑某个极限过程，而是将所有空间直接揉在一起。而赋予了定向集作为指标族的局部凸空间族 $\{(X_{\alpha },{\tau }_{\alpha })\}$ $(\alpha \in \mathcal{A})$ 则能够被视为一张抽象网（即将定向集映射到空间族中），这样我们就有了讨论 “极限” 的基础。经过定向集的特殊有序化之后，本文中的归纳极限空间可以认为是带有抽象网结构的空间族对象经过 $h_{\beta \alpha }$ 的一致性约束之后的极限结果。

而上一篇文章中的归纳极限空间是更广泛的一类空间，它没有要求必须要有过渡映射 $h_{\beta \alpha }$ 以及指标族也不必是定向集，它只是将所有局部凸空间进行了杂乱的糅合，没有进一步讨论里面的极限过程。因此在原著中，作者将直接糅合的归纳极限拓扑成为归纳拓扑，考虑了本文极限的拓扑才称为归纳极限拓扑。本文为了不引起初学者对于概念的混乱，所以统一都称为归纳极限拓扑。而考虑了极限过程的归纳极限拓扑才是我们以后重点考虑的对象，我们将在下一篇文章中继续深入考虑这类重要的归纳极限空间。