行阶梯形矩阵的定义，通过正例和反例说明如何判断一个矩阵是不是行阶梯形矩阵

行阶梯形矩阵的定义：

一个矩阵被称为行阶梯形矩阵，如果它满足以下条件：

1. 非零行在零行之上：所有非零行都位于零行的上方。
2. 主元位置右移：在非零行中，首个非零元素（称为主元）所在的列在上一行的主元所在列的右边。
3. 主元下方元素为零：主元所在列中，主元下面的所有元素都为零。

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正例：行阶梯形矩阵的例子

例 1：
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 3\\ 0& 1& 4& -1\\ 0& 0& 0& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

分析：

• 第一行的主元是 1，位于第 1 列。
• 第二行的主元是 1，位于第 2 列，右移了一位。
• 第三行的主元是 2，位于第 4 列，继续右移。
• 第四行是零行，位于底部。
• 主元下方的元素均为零。

例 2：
$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 3\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

分析：

• 第一行的主元是 2，位于第 1 列。
• 第二行的主元是 1，位于第 3 列，右移了两位。
• 第三行是零行。
• 主元下方的元素为零。

例 3：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 5& 6\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

分析：

• 第一行的主元是 1，位于第 1 列。
• 第二行的主元是 5，位于第 2 列，右移一位。
• 第三行是零行。
• 主元下方的元素为零。

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反例：不是行阶梯形的矩阵

反例 1：
$$\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 2\\ 1& 0& 3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

分析：

• 第一行的主元在第 2 列。
• 第二行的主元在第 1 列，没有右移，反而左移，违反了条件 2。
• 因此，该矩阵不是行阶梯形矩阵。

反例 2：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& 0& 0\\ 0& 2& 1\end{array}\right)$$

分析：

• 第四行是非零行，位于零行（第三行）之下，违反了条件 1。
• 因此，该矩阵不是行阶梯形矩阵。

反例 3：
$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 0& 0& 3\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

分析：

• 第一行的主元在第 1 列。
• 第二行的主元在第 3 列。
• 第三行的主元在第 2 列，没有位于上一行主元的右方，违反了条件 2。
• 因此，该矩阵不是行阶梯形矩阵。

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补充说明：

行阶梯形矩阵的特点：

• 主元位置：每一行的主元（首个非零元素）在矩阵中从上到下向右移动。
• 零行位置：所有零行都必须集中在矩阵的底部。
• 主元下方零元素：在主元所在的列中，主元下面的元素必须为零。

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如何判断一个矩阵是否为行阶梯形矩阵：

1. 从上到下检查非零行，确保非零行的主元位置逐行右移。
2. 确认零行是否全部位于矩阵底部。
3. 检查主元下方的元素，确保它们全为零。