动态规划-01背包问题

本篇中将介绍几道01背包类型的问题。

分割等和子集

416. 分割等和子集 - 力扣（LeetCode）

题目描述

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]

输出：true

解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

示例 2：

输入：nums = [1,2,3,5,2]

输出：false

解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。

 我们可以将这个问题视为一个典型的“背包问题”的变种，具体来说是“0-1背包问题”的一个特殊应用。不过，在这个问题中，我们不是要求达到某个特定重量的最大价值，而是要求判断是否存在一种方式，将数组中的元素分为两组，使得两组的和相等。

问题分析

1. 目标和：首先，我们需要计算数组 nums 中所有元素的总和 totalSum。如果 totalSum 是奇数，那么显然无法将数组分割成两个和相等的子集，因为两个相等的和加起来必须是偶数。

2. 动态规划数组：如果 totalSum 是偶数，我们定义 target = totalSum / 2。接下来，我们使用动态规划来判断是否存在一个子集的和为 target。我们定义一个布尔型动态规划数组 dp，其中 dp[i] 表示是否存在一个子集，其和为 i。注意，这里的 i 的取值范围是 0 到 target（包含）。

3. 状态转移方程：

   • 初始化：dp[0] = true（空集的和为0）。
   • 对于数组 nums 中的每个元素 num，以及每个可能的和 j（从 target 开始向下遍历到 num），如果 dp[j-num] 为真（即存在一个子集的和为 j-num），则我们可以将 num 加到这个子集中，使得子集的和变为 j，因此设置 dp[j] = true。

4. 结果判断：如果 dp[target] 为真，则说明存在一个子集的和为 target，即可以将数组 nums 分割成两个和相等的子集。

 

bool canPartition(vector<int>& nums) {  int totalSum = 0;  for (int num : nums) {  totalSum += num;  }  // 如果总和是奇数，则无法分割成两个和相等的子集  if (totalSum % 2 != 0) {  return false;  }  int target = totalSum / 2;  vector<bool> dp(target + 1, false);  dp[0] = true; // 空集的和为0  for (int num : nums) {  for (int j = target; j >= num; --j) {  if (dp[j - num]) {  dp[j] = true;  }  }  }  return dp[target];  
}  

目标和

494. 目标和 - 力扣（LeetCode）

题目描述

给你一个非负整数数组 nums 和一个整数 target 。 向数组中的每个整数前添加 '+' 或 '-' ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

例如，nums = [3, 1] ，可以在 2 之前添加 '+' ，在 1 之前添加 '-' ，然后串联起来得到表达式 "+3-1" 以及"+3+1"等表达式。 

解题思路

 将数组分成两份一部分加上正号，另一部分加上负号，加正号的那一部分总和为a,另一部分总和绝对值为b

题目要求即要使a - b = target;

并且a + b = sum;

所以题目要求就是找出数组中 和为 : (target+sum)/2 的所有组合数。实际上就是01背包问题。

我们可以定义一个二维数组 dp[i][j] 来表示在前 i 个数字中选取一些数字（每个数字前面可以添加 '+' 或 '-'），使得这些数字的和为 j 的不同表达式的数目。

int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int n = nums.size();int sum = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {sum += nums[i];}if ((target + sum) % 2 == 1)return false;int m = (target + sum) / 2;if (m < 0)return 0;vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));// dp[i][j]: 前i个数 总和为j 的所有方法数目for (int i = 0; i <= n; i++) { // 前i个数 什么都不选总和为0dp[i][0] = 1;}for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 0; j <= m; j++) {if (j - nums[i - 1] >= 0) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + dp[i - 1][j];} else {dp[i][j] = dp[i - 1][j];}}}return dp[n][m];}