[已更新]2024华为杯数学建模研赛A题问题一二建模代码研究生数学建模
雨流计数器原理及其在风电机组主轴和塔架累积疲劳损伤中的应用
后续修正:第一题还要加入一个滤波函数和拟合数据的程序，参数用来拟合代表两种力
### https://docs.qq.com/doc/DVUNOeVpHbHhXU1di
- 雨流计数器的原理
雨流计数器（Rainflow Counting Method）是一种用于疲劳分析中识别和计算循环应力的有效工具。其原理基于寻找应力-应变信号中的局部极值点，判断应力循环的范围和幅值，从而对材料的疲劳寿命进行定量评估。
1.1 四点式雨流计数法
四点式雨流计数法通过连续的四个应力状态点 , , , 进行判断，其判断流程如下：
1.计算三个应力差：
2.循环判定条件：
o若 ，则认为 到 构成了一个有效的循环，进行计数。
o若不满足该条件，滑动到下一个四点组 。
1.2 Goodman 修正
由于应力均值影响材料的疲劳性能，在疲劳损伤计算中常使用 Goodman 修正，其表达式为：
其中：
为应力幅值；
为应力均值；
为材料的最大允许应力。
通过该修正，可以将实际应力幅值修正为等效的循环应力幅值，进而用于疲劳寿命计算。
2. 风电机组主轴和塔架的累积疲劳损伤计算
风电机组主轴和塔架是关键的承载部件，长期处于交变载荷作用下，其疲劳损伤的准确量化对于机组的可靠性至关重要。利用雨流计数器，可以实时分析这两个部件在任意时间段的累积疲劳损伤。
2.1 累积疲劳损伤模型
累积疲劳损伤通常采用 Palmgren-Miner 法则，其表达为：
其中：
是累积疲劳损伤值；
是第 种应力循环的实际发生次数；
是第 种应力循环对应的疲劳寿命（即可以承受的最大循环次数）。
当 时，材料或结构的疲劳寿命达到极限，可能发生破坏。
2.2 应用在主轴和塔架的实时计算中
在风机主轴和塔架的疲劳分析中，首先通过应力传感器采集数据，然后基于四点式雨流计数法提取应力幅值和均值，结合Goodman修正计算得到修正后的应力幅值 。累积疲劳损伤 可通过以下步骤计算：
1.提取应力循环：
对采集的应力信号进行四点式雨流计数，得到各个应力循环的幅值 和均值 。
2.Goodman 修正：
对每个循环的应力幅值 进行 Goodman 修正，得到修正后的等效应力 ：
3.累积疲劳损伤计算：
根据 S-N 曲线的疲劳寿命模型 ，计算每个应力循环的疲劳寿命 和损伤 ，并累加计算得到总的累积疲劳损伤 ：
4.实时更新：
实时采集的数据通过上述流程持续更新计算累积疲劳损伤，确保在风机运行期间能够有效监控主轴和塔架的疲劳状态。
2.3 实时等效疲劳载荷
为了便于监控和比较不同工况下的疲劳载荷，常使用 等效疲劳载荷（Equivalent Fatigue Load, EFL），其计算公式为：
其中：
为经过Goodman修正后的应力幅值；
为设计疲劳寿命（循环次数）；
为 Wohler 指数。
通过等效疲劳载荷，可以方便地对不同应力循环下的疲劳影响进行归一化分析。
3. 结论
雨流计数器特别是四点式雨流计数法在疲劳分析中具有重要应用，它能够精确识别应力循环，结合Goodman修正和Palmgren-Miner理论，帮助工程师对风电机组主轴和塔架的疲劳状态进行实时监控和分析。这种方法不仅提高了疲劳寿命预测的准确性，还为风电机组的维护和检修提供了数据支持。
问题一代码:
function [D_total, L_N] = fatigue_analysis_4point(torque_data, max_load, N_life, m, C)% 输入参数:% torque_data: 扭矩数据，假设已经是波峰和波谷点的序列 (nx1)% max_load: 材料的最大拉伸载荷值% N_life: 风电风机设计寿命 (循环次数)% m: Wohler指数% C: S-N曲线常数% 输出:% D_total: 累积疲劳损伤值% L_N: 等效疲劳载荷%% Step 1: 四点式雨流计数法% 预处理扭矩数据（假设已经提取波峰和波谷）[cycles, means] = rainflow_count_4point(torque_data);% 记录载荷幅值和循环次数n_cycles = size(cycles, 1); % 循环次数S_amplitudes = abs(cycles(:, 1)); % 应力幅值S_means = means; % 应力均值%% Step 2: Goodman 修正S_corrected = zeros(n_cycles, 1);for i = 1:n_cyclesS_ai = S_amplitudes(i); % 幅值S_mi = S_means(i); % 均值S_corrected(i) = S_ai / (1 - S_mi / max_load); % Goodman修正end%% Step 3: 累积疲劳损伤计算 (Palmgren-Miner)D_total = 0;for i = 1:n_cyclesS_i = S_corrected(i); % Goodman修正后的应力幅值N_F = (C / S_i^m); % S-N曲线求解最大循环次数n_F = 1; % 假设每个循环次数为1D_F = n_F / N_F; % 计算疲劳损伤D_total = D_total + D_F; % 累加损伤end%% Step 4: 计算等效疲劳载荷L_N = (sum(S_corrected.^m) / N_life)^(1/m);% 输出累积疲劳损伤和等效疲劳载荷
end问题二：利用风速及功率估算塔架推力和主轴扭矩
风速与风机的发电功率之间具有正相关性，一个直观的理解是，当风所携带的风能被风机完全消化转化为电能后，风机所承受的推力（风推动风轮平面产生的推力）和扭矩（风轮实际转速与当前风速下应达到的转速不匹配带来的扭矩）是最小的；当风速相对风机的发电功率过高时，多余的风能就会有一部分作用于风机上，形成主轴扭矩和塔架推力，增加风机的累积疲劳损伤程度（本题所考虑的5MW风机对应的额定风速为11.2m/s）。因此，请建立数学模型，根据风机所处位置的风速条件和功率参考值，估算当前风机所承受的应力/扭矩；模型可结合受力分析、能量守恒、或其他任意合理思路进行建立（数据量较少，不建议使用机器学习方法）。本题给出数据包括：各风机轮毂处等效风速、有功功率参考值；输出数据为风机轴系扭矩、风机塔顶推力。要求能够利用本题所提供的数据（附件2）估算各个风机任意时刻的应力/扭矩值，并与数据中给出的参考值进行对比；需将100台风机在全部时刻的应力/扭矩计算结果列入附件6的表格中，并需要统计全部时刻估算值与参照值之差的平方和以展示计算结果与实际数据的对比结果。
为了找到符合题目描述的风机型号，我们需要确定该风机的几个关键参数：额定功率为5MW，额定风速为11.2 m/s。以下是一些知名的风机型号及其主要参数。
常见5MW风机型号及参数
1.Vestas V164-5.0MW
o额定功率：5.0 MW
o额定风速：11.0-11.5 m/s
o叶片半径：82 m（扫风面积为52,922 m²）
o推力系数 ( C_t )：0.8（通常推力系数在 0.7-0.9 之间）
o传动效率 ( \eta )：0.9
2.Siemens Gamesa SG 5.0-145
o额定功率：5.0 MW
o额定风速：11.2 m/s
o叶片半径：72.5 m（扫风面积为16,500 m²）
o推力系数 ( C_t )：0.8
o传动效率 ( \eta )：0.9
3.GE Haliade 150-6MW
o额定功率：6.0 MW
o额定风速：11.5 m/s
o叶片半径：73.5 m（扫风面积为16,974 m²）
o推力系数 ( C_t )：0.75
o传动效率 ( \eta )：0.9
参数选取
根据题目所给的风机额定功率和额定风速，我们选择 Siemens Gamesa SG 5.0-145 作为计算模型。
参数表格
参数 符号 值 单位
额定功率 ( P_{\text{rated}} ) 5,000,000 W
额定风速 ( V_{\text{rated}} ) 11.2 m/s
叶片半径 ( R ) 72.5 m
空气密度 ( \rho ) 1.225 kg/m³
推力系数 ( C_t ) 0.8 无单位
传动效率 ( \eta ) 0.9 无单位
本模型中的关键参数可以根据具体的风机类型进行设定。以下是 Siemens Gamesa SG 5.0-145 风机的参数设定：
-R=72.5 mR=72.5m（叶片半径）
-η=0.9η=0.9（传动效率）
-Ct=0.8Ct=0.8（推力系数）
-ρ=1.225 kg/m3ρ=1.225kg/m3（空气密度）
-Prated=5000000 WPrated=5000000W（额定功率
Tsi= η⋅Prefi⋅R/ Vwi /
Ft=21⋅ρ⋅A⋅Ct⋅V2
风机应力、扭矩与输出功率的数学模型
风力发电机在运行过程中受风速、功率参考值、桨距角、低速轴和高速轴转速等因素的影响，产生主轴扭矩、塔架推力以及实际输出功率。通过这些变量，我们可以构建以下数学模型来估算风机的应力和扭矩，并输出预测值。
- 主轴扭矩模型
风机的主轴扭矩 是由输出功率 和低速轴转速 决定的。根据机械功率公式，主轴扭矩可以计算为：
其中：
是主轴扭矩，单位为 Nm；
是实际输出功率，单位为 W；
是传动效率（通常取 0.9）；
是低速轴转速，单位为 rad/s。
主轴扭矩模型也可以基于空气动力学公式推导，其中输出功率可以表示为风能转化的功率。假设风能通过风轮转化为机械功率，我们有：
其中：
是空气密度，通常为 1.225 kg/m³；
是风轮的扫风面积， 是风机叶片半径；
是功率系数，反映风能转化的效率；
是输入风速，单位为 m/s。
结合该公式，我们可以得到主轴扭矩与风速 、桨距角 和功率参考值 的关系。我们可以假设主轴扭矩是这些输入变量的线性组合，表示为：
其中， 是待拟合的模型参数。
2. 塔架推力模型
塔架推力 是风轮受到的空气动力学推力。根据空气动力学理论，推力可以用下式表示：
其中：
是空气密度，取值为 1.225 kg/m³；
是风轮的扫风面积， 是风机叶片半径；
是推力系数，通常为 0.8；
是风速，单位为 m/s。
为了引入桨距角和转速的影响，塔架推力可以扩展为下述线性模型：
其中， 是拟合参数， 是高速轴转速。
3. 输出功率模型
输出功率 可以表示为风速 、功率参考值 、桨距角 、低速轴转速 和高速轴转速 的函数。模型的表达式如下：
其中， 是拟合参数。
4. 模型的拟合
为了确定上述模型中的参数 , 和 ，我们可以使用最小化误差平方和的方法。对于第 台风机，定义误差平方和为：
其中：
, , 分别为第 台风机的实际主轴扭矩、塔架推力和输出功率；
, , 是模型的预测值。
通过最小化误差平方和 ，我们可以找到模型的最优参数 。
5. 总结
通过引入风速 、功率参考值 、桨距角 、低速轴转速 和高速轴转速 等输入变量，我们构建了风机的主轴扭矩、塔架推力和输出功率的数学模型。这些模型通过历史数据拟合得到，且通过最小化误差平方和来评估模型的准确性。
数。
问题三：有功调度优化问题构建与实时求解
有功功率的优化分配需每秒钟进行一次计算，优化计算时间短。大规模风电场含数百台风机（此题以风机总数量=100的场站为例），优化问题维度高，因此需在建模阶段兼顾模型复杂度和精度。实际工程中，场站内多台风机一般为相同型号，即各风机之间模型参数是一致的，区别仅在于风速条件（轮毂处风速）和功率参考值不同。请根据下述优化目标和约束条件，建立优化模型求解最优有功功率分配策略。
为降低风电场运维成本，需尽可能降低场站所有风机总体疲劳损伤程度（参赛者自行定义所有风机的总体疲劳损伤程度，但需分别将主轴和塔架的两种元件的疲劳损伤定义为两个目标。例如目标定为每种元件的疲劳损伤平均值最小、或疲劳损伤最严重的元件的疲劳值最小等；要求目标函数定义合理且具有可解释性）。单台风机的疲劳损伤包括主轴的疲劳损伤与塔架疲劳损伤两部分。此外，要保证所有风机有功参考值之和等于电网调度指令；且保证各风机有功参考值不大于风机有功功率额定值（5MW）。为保证实际场站中原有风机功率跟踪主控制器参数适用，也需保证各风机有功优化分配值与平均分配方法结果（）差值不超过1MW。
本题收集了包含100台风机的风电场在一段时间内的电网有功调度指令的时序数据及实测风速数据，见附件2。要求给出本题的目标函数，以及各目标权重值（如果有），并对目标函数和权重的设计思路进行说明；同时要求每秒进行一次功率分配，需提供含有计时器的动图，展示计算结果的实时性；此外，还需展示约束条件是否满足，及优化后与优化前（平均分配功率）的结果对比，对比方式包括但不限于：优化前后各个风机的累积疲劳损伤程度、所有风机的累积疲劳损伤总和；优化前后风机间参考功率方差值。参赛者亦可采用其他指标展示优化结果，上述指标仅供参考。
调度模型